5. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне.

Розглянемо числа12 і 8. Їх дільники і . У чисел 12 і 8 існують спільні дільники 1,2,4. серед них є найбільше число 4, його називають найбільшим спільним дільником НСД.

Спільним дільником чисел називається кожне натуральне число, яке являється дільником кожного з даних чисел. НСД чисел називається найбільше число з усіх спільних дільників даного числа.

Властивості нсд.

1. НСД завжди існує і являється єдиним.

2. НСД не перевищує меншого з даних чисел

3. НСД ділиться на кожний дільник цих чисел.

Знову розглянемо числа 12 і 8 і випишемо декілька чисел, кратних ним: і . У чисел 12 і 8 існують спільні кратні – 24,48,72,…. Серед них є найменше число 24. його називають найменшим спільним кратним НСК.

Спільним кратним чисел називається кожне натуральне число, яке кратне кожному з даних чисел. НСК називається найменше число з всіх спільних кратних даних чисел.

Властивості нск.

1. НСК завжди існує і тільки один.

2. НСК не менше більшого з даних чисел.

3. Будь-яке спільне кратне ділиться на НСК цих чисел.

Теорема. Для будь-яких натуральних чисел добуток їх НСК і НСД дорівнює добутку чисел , тобто . Ця рівність дозволяє знайти НСК по відомому значення НСД.

6. Признаки подільності на складові числа.

Ознака подільності на 6: Для того, щоб число ділилося на 6, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 2 і 3.

Ознака подільності на 12: Для того, щоб число ділилося на 12, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 4.

Ознака подільності на 15: Для того, щоб число ділилося на 15, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 5.

Теорема. Для того, щоб число ділилося на складове число , де , необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на .

Наприклад, ознака подільності числа на 60: для того, щоб число ділилося на 60, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3, 4,5.

7. Знаходження нсд і нск чисел способом розкладу на прості множники.

Запис числа в виді добутку простих чисел називається розкладом цього числа на прості множники. Наприклад, 110=2*5*11. розкладаючи числа на прості множники, використовують ознаки подільності на 2,3,,5,7, 11,13,17…наприклад, число 720=2*2*2*23*3*5=, або і .

В розклад на прості множники НСД мають ввійти всі спільні прості множники, які містяться в розкладі даних чисел, причому кожний з них потрібно взяти з найменшим степенем, з яким вони входять в обидва розклади. Тоді .

В розклад на прості множники НСК мають ввійти всі спільні прості множники, які містяться хоча б одному з розкладів даних чисел, причому кожний з них потрібно взяти з найбільшим степенем, з яким вони входять в обидва розклади. Тоді .

Алгоритм знаходження НСК, НСД.

1. представляємо число в канонічному виді.

2. Утворюємо добуток спільних для чисел простих множників, причому кожний х них обираємо з найменшим степенем, з яким вони входять до розкладу. Обчислюємо значення добутку – це НСД даних чисел.

3. утворюємо добуток з всіх простих множників, причому кожний обираємо з найбільшим степенем, з яким вони входять до розкладу чисел. Обчислюємо значення добутку – це НСК цих чисел.

Наприклад, знайти НСД і НСК чисел 60, 252, 264.