27. Однородное д.У. И его решение.

Дифференциальное уравнение называется однородным, если оно имеет вид y’=f(x)

Дифференциальное уравнение называется однородным, если оно имеет вид P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0, где P(x, y), Q(x, y) – однородные функции одной и той же степени Функция двух переменных называется однородной функцией измерения n, если при любом tсправедливо тождество f (tx, ty) = t ⁿ f(x, y) . Пример Функция есть однородная функция измерения 2, т.к.  .30.Операции нал событиями. Алгебра событий.

Поскольку случайные события рассматриваются как множества, определенные на пространстве элементарных исходов , очевидно, что алгебраические свойства случайных событий вытекают из соответствующих свойств множеств

Приведенный список не исчерпывает всех свойств операций над событиями. В то же время из него видно, что основные действия над событиями, в частности, операции сложения (объединения) и умножения (пересечения), в определенном смысле аналогичны сложению и умножению чисел. Эти операции обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Для операции умножения событий роль, аналогичную роли единицы и нуля при умножении чисел, выполняют, соответственно, множества и . Вместе с тем, теоретико–множественные равенства 6, 6¢ и им подобные показывают, что полной аналогии нет

Пусть — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т.е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определённую только на множестве событий (каждый третий студент 1 курса ЭФ не знает, что такое область определения функции. А вы знаете?). Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества , а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств. При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был замкнут относительно введённых в параграфе 2 главы 1операций над событиями, т.е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введём понятие алгебры событий.

Множество , элементами которого являются подмножества множества(не обязательно все) называется алгеброй (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:

(A1)  (алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2)  если , то(вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие);

(A3)  если и, то(вместе с любыми двумя событиями алгебра содержит их объединение).

33. Вероятность суммы событий.

34. Вероятность суммы независимых событий.

несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1. Если события образуют полную группу событий, то сумма вероятностей равна 1.

Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Событие называется несовместным, если они не могут появиться вместе в одном опыте.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность сложения 2 совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Два события называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление других.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Если при проведении испытаний вероятность появления события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми

Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Теорема сложения вероятностей совместных событий: