- •4. Непрерывность функции двух переменных. Точки разрыва.
- •7.Дифференциал функции двух переменных.
- •10.Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
- •14. Интегрирование рациональных функций.
- •17.Нахождение интегралов с помощью уравнений
- •21.Интеграл с переменной верхней границей как первообразная для подинтегральной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •24.Теорема существования и единственности сущ. Решения д.У. 1порядка задача Коши.
- •27. Однородное д.У. И его решение.
- •33. Вероятность суммы событий.
- •34. Вероятность суммы независимых событий.
- •37. Формула Бернулли.
- •40. Функция распределение случайной величины и ее свойства.
- •43. Свойство дисперсии.
- •46. Геометрическое распределение и ее характеристики.
- •49. Формула Лапласа для определения вероятностей для нормального распределения.
- •52. Понятие случайной выборки и статистического ряда.
- •55. Интервальные методы.
- •8.Градиент и его свойства.
- •11.Таблица неопределенного интеграла.
- •15.Интегрирование иррациональных функций.
- •18.Определенный интеграл и его геометрический смысл.
- •22.Нахождение площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью интегралов..
- •Нахождение объемов тел вращения с помощью интегралов
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как вычислить объем тела вращения?
- •25. Д.У. С разделяющимися переменными и метод его решения.
- •28.Основные понятия комбинаторики: перестановка, размещение и сочетание….
- •31.Геометрическая вероятность.
- •35.Полная группа событий. Формула полной вероятности.
- •38. Наивероятнейшее число в схеме Бернулли.
- •41. Числовые характеристики случайной величины.( мат. Ожидание, дискрет.Величниа)
- •44. Биноминальное распределение и ее характеристики.
- •50.Теорема Чебышева. Закон больших чисел.
- •53. Выборочная средняя исправленная выборочная дисперсия.
- •58. Двусторонняя критическая область.
- •6.Производная по направлению и ее вычисления.
- •9.Экстремум функции двух переменных. Условия экстремума.
- •13. Интегрирование по частям в неопред. Интеграле
- •12.Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •16.Интегрирование квадратичных иррациональностей.
- •19.Замена переменной в определенном интеграле.
- •20.Интегрирование по частям в опред. Интервале.
- •23.Дефференциал уравнения и его общее и частное решение и их геометрическая интерпритация.
- •26.Линейное д.У. 1порядка и метод его решения.
- •29. Основные понятия теории вероятности: испытание, событие и вероятность.
- •32. Условная вероятность. Вероятность произведения события.
- •36. Формула Беиса.
- •39. Дискретная случайная величина и ее табл. Распределения.
- •45.Распределение Паусона и ее характеристики.
- •51.Центральная предельная теорема Ляпунова.
- •54. Точечные методы оценивания неизвестных параметров.
- •57. Односторонняя критическая область
- •60. Уравнение линии регрессии.
- •2 Типа взаимосвязей между х и у:
- •59. Статистическое и корреляционная зависимость случ. Вел.
- •56. Статистическая обработка результатов наблюдения с помощью критерия согласия.
36. Формула Беиса.
Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события
–ФОРМУЛА БАЙЕСА
39. Дискретная случайная величина и ее табл. Распределения.
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опята может принимать определенные изолированные значения с некоторой вероятностью.
Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятности называется законом распределения дискретной случайной величины.
Пусть случайная величина Х задана таблицей распределения
Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:
Математическое ожидание называют также средним значением случайной величины Х, подчеркивая статистический смысл понятия, или центром распределения случайной величины Х (по аналогии с понятием центра тяжести для системы материальных точек).
Свойства математического ожидания:
1) если случайная величина Х принимает постоянное значение Х=С= =const, то М(С)=С;
2) М(СХ)=СМ(Х), С = const;
3) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y);
4) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X×Y)=M(X)×M(Y).
Наряду с характеристиками положения большую роль играют характеристики рассеяния. Рассеяние случайной величины Х связано с отклонением этой величины от ее центра распределения М(Х). Чтобы учитывать отклонения противоположных знаков, удобно рассматривать квадраты отклонений.
Дисперсией D(X) случайной величины Х называют средний квадрат отклонения случайной величины от ее центра распределения:
Используя свойства математического ожидания, можно записать более удобную формулу для подсчета дисперсии
.
Для того, чтобы рассматривать отклонение в тех же единицах, что и значения случайной величины, вводится еще одна характеристика – среднее квадратическое отклонение s(Х), которое определяется как
.
Свойства дисперсии:
1) D(X) ³ 0; 2) если С=const, то D(С) = 0;
3) ,С=const;
4) D(X ± Y) = D(X) + D(Y).
Пример. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:
Х
2
3
5
6
Р
0,5
0,2
0,2
0,1
Найти М(Х), D(X), s(X).
Решение. Найдем математическое ожидание: М(Х)=2×0,5+3×0,2+5×0,2+6×0,1=3,2.
Дисперсию вычислим по формуле .
;
;
42.Свойства мат. Ожидания.
Матем. ожидание постоянной величины равно самой постоянной М(С)=С
Постоянный множитель можно выносить за знак матем. Ожидания М(Сх)=СМ(х)
Матем. Ожидание произведения 2 независимых случайных величин равно произведению их матем. ожиданий М(ху)=М(х)М(у)
Матем. ожидание отклонения случайной величины от ее матем. ожидания равно нулю М(х-М(х))=0
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = СМ(Х).
Для понимания последующих свойств дополнительно введем несколько комментарий
Две случайные величины называют независимыми,если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величинызависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Произведение независимых случайных величин Xи Y можно определить как случайную величину XY,возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение У; вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Причем некоторые произведения могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.
Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей
M(XY) = M(X)·M(Y). Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Например, для трех случайных величин имеем:
М (XYZ) = М (XY ·Z) = M (XY) M(Z)=M (X) ·М (Y) · М(Z).
Для произвольного числа случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.
Свойство 4. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий слагаемых. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их математических ожиданий слагаемых.
M(X+Y) = M(X) + M(Y); M(X-Y) = M(X)-M(Y)
Эти свойство также распространяется на любое количество событий