1.4. Скалярное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей

Определение. Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между этими векторами. Обозначается скалярное произведение

=.

Отсюда, в частности, следует, что

, где - орт вектора.

Непосредственно из определения следуют следующие свойства скалярного произведения:

1) тогда и тольго тогда, когда.

2) .

3) .

Из свойства линейности проекции следует:

4) .

Действительно, .

Выражение скалярного произведения в ортонормированном базисе.

Рассмотрим ортонормированный базис e₁ , e₂ , e₃ и два вектора

x =x₁ e₁ + x₂ e₂ + x₃ e₃ , y =y₁ e₁ + y₂ e_{2 +} y₃ e₃ , или, кратко, x =(x₁ , x₂ , x₃ ) , y =(y₁ , y₂ , y₃ ). Тогда скалярное произведение будет равно:

(x , y) =(x₁ e₁ + x₂ e₂ + x₃ e₃ ,y₁ e₁ + y₂ e_{2 +} y₃ e₃)= x₁ y₁ + x₂ y₂ + x₃ y₃ .

Для доказательства этого необходимо раскрыть скобки, используя свойства 2), 3) скалярного произведения и свойство ортонормированного базиса:

(e_k , e_m)=. Символназывается символом Кронекера.

Теорема. Для равенства двух векторов необходимо и достаточно, чтобы проекции этих векторов на любую ось совпадали.

Необходимость следует из формулы Пр_e. Достаточност следует из равенств:

a = (Пр_i a) i +(Пр_j a) j +(Пр_k a) k = (Пр_i b) i +(Пр_j b) j +(Пр_k b) k=b .

1.5. Определители второго и третьего порядка. Решение систем. Правило Крамера. Векторное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей

1.5.1. Определители второго и третьего порядка.

Матрицей типа называется прямоугольная таблица из чисел, выстроенных встрок истолбцов.

Примеры матриц 2x3, 3x1: ,.

В общем случае матрицу записывают, используя индексы для нумерации строк и столбцов:

.

Матрица

называется транспонированной матрицей для исходной матрицы.

Если , то матрица называется квадратной. Важной характеристикой квадратной матрицы является определитель. Здесь мы ограничимся рассмотрением определителей матриц втрого и третьего порядков.

Определитель матрицы 2x2: .	Определитель матрицы 3x3: .

Slide_1_15 «Определители 2-го и 3-го порядков»

Схема вычисления слагаемых для определителя третьего порядка (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Вычисление определителя

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Разложение определителя по первой сторке.

Для вычисления определителя третьего порядка удобно пользоваться следующей формулой разложения:

.

Slide_1_15_2 «Разложение определителя по строке»

Для элементов перовой строки множителями служат

,

которые называются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов первой строки.

1.5.2.Решение систем. Правило Крамера

Решение системы

с невырожденной матрицей коэффициентов является единственным и находится по правилу Крамера:

Slide_1_15_1 «Правило Крамера»

1.5.3. Векторное произведение

Тройка некомпланарных векторов a , b , c называется правой, если при приведении их к общему началу поворот от a к b по кратчайшему пути проводится против часовой стрелки, если смотреть из вершины вектора c. В противном случае, тройка векторов a , b , c называется левой.

Векторным произведением векторов a , b называется вектор c , удовлетворяющий условиям:

1) с=a b, -угол между векторами a , b ,

2) сa , сb ,

3) тройка a , b , c - правая (см. рис. 1.16)

Рис. 1.16. Векторное произведение

Векторное произведение обозначается: с = [ a , b ] .

Slide_1_16 «Векторное произведение»

Из определения следуют простейшие свойства векторного произведения:

Условие коллинеарности двух векторов a , b можно записать в виде:

[ a , b ] = 0 .

Модуль векторного произведения [ a , b ] равен площади параллелограмма, построенного на векторах a , b (см. рис. 1.17).

Рис. 1.17. Модуль векторного произведения

Slide_1_17 «Модуль векторного произведения»

Докажем, что векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. [ a , b ] = - [ b , a ] (см. Рис. 1.18),

2. [ a , b ] = [a , b ],

3. [ a+с , b ] = [ a , b ]+ [ с , b ] (см. Рис. 1.19).

Первое свойство следует из определения (если тройка a , b , c - правая, то правой будет тройка b , a , -c . см. рисунок).

Рис. 1.18. Антикоммутативность

Slide_1_18 «Антикоммутативность векторного произведения»

Для доказательства второго и третьего свойств, обозначим через e единичный вектор, лежащий в плоскости векторов a , b (a , b – приведены к общему началу), перпендикулярный вектору b и такой, что тройка векторов ebc правая, а через g – орт вектора с = [ a , b ], g = сс (см. рисунок).

Рис. 1.19. Линейность

Тогда

[ a , b ]= b( Пр_e a ) g (3)

Действительно: [ a , b ]= [a , b ] g =a bg=b( Пр_e a ) g .

Из (3) получим свойство 2):

[ a , b ]= bПр_e (a) g = b( Пр_e a ) g = [ a , b ].

Аналогично выводится свойство 3):

[ a+с , b ] =bПр_e (a+с) g=bПр_e a g+bПр_e с g = [ a , b ]+ [ с , b ].

Slide_1_19 «Линейность векторного произведения»

Выражение векторного произведения через координаты векторов сомножителей в декартовой системе координат.

Пусть в декартовом базисе (i,j,k) выполнены разложения векторов:

x =x₁ i + x₂ j + x₃ k , y =y₁ i + y₂ j + y₃ k .

Используя свойства 1)-3) векторного произведения и равенства

k = [ i , j ] , j = [k, i] , i = [j, k] , получим:

[x₁ i + x₂ j + x₃ k , y₁ i + y₂ j ₊ y₃ k ] =

= [x₁ i , y₁ i + y₂ j ₊ y₃ k ]+ [ x₂ j , y₁ i + y₂ j ₊ y₃ k ]+ [ x₃ k , y₁ i + y₂ j ₊ y₃ k ]=

= x₁ y₂ k + x₁ y₃ (-j )+ x₂ y₁(-k)+ x₂ y₃ i + x₃ y₁ j + x₃ y₂(-i )=

=( x₂ y₃ – x₃ y₂ , x₃ y₁ – x₁ y₃ , x₁ y₂ – x₂ y₁) (см. Рис. 1.20).

Рис. 1.20. Перемножение ортов осей

Для вычисления векторного произведения удобно использовать символический определитель:

[x₁ i + x₂ j + x₃ k , y₁ i + y₂ j ₊ y₃ k ] =.