Глава 3. Кривые второго порядка

3.1. Канонические уравнения кривых второго порядка

3.1.1. Эллипс

3.1.2. Гипербола

3.1.3. Парабола

3.1.4. Некоторые свойства эллипса, гиперболы и параболы

3.2. Общее уравнение кривой второго порядка

3.2.1. Преобразование координат при переходе к другой системе координат

3.2.2. Инварианты кривой второго порядка

3. Центр линии второго порядка

3.3.Упрощение уравнения линии второго порядка (приведение к каноническому виду)

3.3.1.Классификация кривой 2-го порядка

3.3.2.Эллиптический тип

3.3.3.Гиперболический тип

3.3.4.Параболический тип

Глава 4. Поверхности второго порядка

4.1. Понятие поверхности 2-го порядка

4.1.1. Определения.

4.2. Каноническое уравнение поверхности 2-го порядка

4.2.1. Исследавание центральных поверхностей 2-го порядка

4.2.2. Исследавание нецентральных поверхностей 2-го порядка

Глава 5. Матрицы и определители

5.1. Определители и их свойства

5.1.1. Подстановки

5.1.2. Определитель

5.1.3. Миноры и их дополнения

5.2. Прямоугольные матрицы

5.2.1. Операции над матрицами

5.3. Обратные матрицы

5.4. Системы линейных уравнений

5.4.1. Запись системы линейных уравнений в матричной форме

5.4.2. Правило Крамера

Геометрия есть учение о вечном. Платон

Глава 1. Векторы

1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами, их свойства. Выражение координат суммы векторов и произведения вектора на число.

Определения. Вектором называется направленный отрезок. Вектор полностью определяется направлением и своей длинной. Таким образом, два вектора считаются равными, если они имеют одинаковое направление и одинаковую длину. В курсе рассматриваются только вектора на плоскости или в пространстве.

В ряде случаев удобно откладывать вектор от определенной точки. В этом случае различают начало и конец вектора.

Slide_0 «Точка»

Определенные таким образом вектора называются «скользящими». В множество векторов добавляют нулевой вектор. Нулевой вектор имеет длину, равную нулю и неопределенное направление. Противоположный вектор для данного вектора определяется, как вектор, имеющий ту же длину, но противоположное направление. Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны (вектора лежат на одной или на параллельных прямых).

Slide_0_2 «Коллинеарные вектора»

Slide_0_2_1 «Условие коллинеарности векторов»

Нулевой вектор можно считать параллельным любому другому вектору. Вектора, образующие между собой угол в 90 градусов (при отложении из одной точки) называются ортогональными. Условие ортогональности обозначается значком . Вектор, имеющий длину1, называется единичным вектором. Единичный вектор, имеющий то же направление, что и данный вектор называется ортом этого вектора. Обозначать вектор будем курсивом и жирным шрифтом: ,…. Кроме того для вектора будет использоваться стрелкой сверху.

Slide_0_1 «Ортогональные вектора»

Длина вектора или модуль вектора обозначается. Противоположный вектор обозначается.См. рис. 1.1.

Рис. 1.1. Векторы, длина вектора

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Slide_1_1_1 «Условие компланарности трех векторов»

Если хотя бы один из трех векторов нулевой, то тройка вектров является компланарной.

Вектора можно складывать и умножать на (вещественные) числа:

.

Сложение двух векторов производится по правилу параллелограмма: оба вектора откладываются из одной точки и на них строится параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма из точки приложения векторов с направлением в противоположную вершину и является суммой данных векторов (см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов

Сумму векторов можно получить, прикладывая второй вектор к вершине первого и соединяя начало первого с вершиной второго (см. рисунок).

Slide_1_2 «Сложение векторов»

Умножение на число определяется следующим образом:

1. если число равно 0, то результатом умножения вектора на это число является нулевой вектор:

0 a = 0.

2) если число , тои векторсовпадает по направлению с вектором.

3) если число < 0 , тои векторимеет направление, противоположное с вектором. В этом случае.

Slide_1_2_1 «Умножение вектора на число»

Замечание. Условие коллинеарности двух векторов означает, что один из них равен другому, умноженному на некоторое число.

Пример скользящих векторов. Вектор скорости твердого тела при плоско-параллельном движении (см. рис. 1.3).

Рис. 1.3. Вектор скорости при плоско-параллельном движении тела

От геометрического определения перейдем к аналитическому определению. Рассмотрим вектор V на плоскости в декартовой системой координат xOy. Точку приложения вектора (начало вектора) обозначим A=(x₁ ,y₁) , конец вектора обозначим B=(x₂ ,y₂) (см. рис. 1.4).

Рис. 1.4. Координаты вектора

Slide_1_4 «Координаты вектора»

Вектор V однозначно определяется упорядоченной парой чисел . В этом случае. Числаназываются координатами вектора. Операции сложения и умножения на числа будут сводиться к соответствующим операциям над координатами вектора. А именно, при сложении векторов их координаты складываются, при умножении на число, координаты умножаются на это число:

1. Если и, то координаты вектора

получаются сложением координат векторов

.

2) Если и, то координаты вектора

получаются умнжением координат вектора на

.

Аналитическое определение вектора. Вектором называется упорядоченная пара вещественных чисел с операциями сложения и умножения на числа, производящимся по правилам 1), 2).

Указанные две операции называются линейными операциями и удовлетворяют обычным свойствам операций сложения и умножения чисел. Перечислим некоторые из этих свойств.

Slide_1_2_2 «Ассоциативность сложения векторов»

Slide_1_2_3 «Коммутативность сложения векторов»

До сих пор речь шла о векторах на плоскости, но все выше сказанное можно повторить и для направленных отрезков в пространстве. В координатной форме такие вектора будут записываться в виде: .

Вектор, приложенный к началу координат , называется радиус вектором. Векторназывается радиус вектором точки(см. рис. 1.5).

Рис. 1.5. Радиус вектор