Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции МИФИ по аналитической геометрии.doc

Скачиваний:

100

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

3.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Глава 3. Кривые второго порядка

3.1. Канонические уравнения кривых второго порядка

3.1.1. Эллипс

Каноническое уравнение.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек F₁, F₂(фокусов) постоянна.

Для удобства предположим, что фокусы имеют координаты F₁(-с,0), F₂(0,с) (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1. Эллипс

Выведем уравнение эллипса.

возведем в квадрат далее

Обозначим Тогда полученное уравнение запишется в виде:

(1)

При возведении в квадрат новых решений не появилось. Действительно,

Величина называется экцентриситетом (мера вытянутости) эллипса.

Таким образом, Аналогично,

Откуда

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса, величины a,b-полуоси эллипса.

3.1.2. Гипербола

Каноническое уравнение.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек F₁, F₂(фокусов) постоянна.

Для удобства предположим, что фокусы имеют координаты F₁(-с,0), F₂(0,с) (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2. Фокусы

Рис. 3.3. Геометрическое построение

Выведем уравнение эллипса.

возведем в квадрат далее

Обозначим Тогда полученное уравнение запишется в виде:

(2)

При возведении в квадрат новых решений не появилось. Действительно,

Величина называется экцентриситетом гиперболы. Таким образом,

Аналогично,

Откуда

Уравнение (2) называется каноническим уравнением гиперболы.

3.1.3. Парабола

Каноническое уравнение.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, расстояния от которых до заданной прямой (директрисы) и до заданной точки(фокуса) равны (см. рис. 3.4.).

Рис. 3.4. Парабола

Для удобства предположим, что фокус расположен на оси Ox и имеет координаты (см. рис. 3.5).

Рис. 3.5. Фокус параболы

Выведем уравнение параболы.

откуда Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы.

3.1.4. Некоторые свойства эллипса, гиперболы и параболы

Эллипс.

А) Эллипс

является симметричной относительно начала координат кривой, расположенной в прямоугольние со сторонами 2a, 2b см. рис. 3.6.

Рис.3.6. Основной прямоугольник

Уравнение эллипса в параметрическом виде имеет вид:

Директрисами эллипса называются прямые(см. рис. 3.7.).

Рис.3.7. Директрисы эллипса

Для директрис справедливы равенства Действительно, ранее отмечалось, чтоРасстояние от текущей точкиM(x,y) эллипса до прямой (директрисы) равноОткуда следует, чтоАналогично для левой директрисы.

b) Гипербола

Гипербола

является симметричной относительно начала координат кривой, имеющей асимптотами диагонали прямоугольника со сторонами 2a, 2b см. рис. 3.8.

Рис.3.8. Гипербола

Директрисами гиперболы называются прямые

Так же, как и для эллипса, для директрис гиперболы справедливы равенства Действительно, ранее отмечалось, чтоРасстояние от текущей точкиM(x,y) гиперболы до прямой (директрисы) равноОткуда следует, чтоАналогично для левой директрисы.

Slide_3_8 «Семейства однофокусных эллипсов и гипербол»

3.2. Общее уравнение кривой второго порядка

3.2.1. Преобразование координат при переходе к другой системе координат

Рассмотрим алгебраическую линию второго порядка

. (1)

Здесь предполагается, что хотя бы один из коэффициентов при старших степенях не равен нулю.

А) Перенос

Рассмотрим новую систему координат с началом координати без поворота осей (см. рис. 3.9)

Рис.3.9. Сдвиг

Связь между координатами точки M в старой и новой системах координат будет выражена соотношениями

Подставляя эти выражения в исходное уравнение кривой, получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, получим

(1)

Можно отметить, что при переносе группа старших коэффициентов не изменяется. Отметим, что

Б) Поворот

При повороте системы координат (см. рис. 3.10 )

Рис.3.10. Поворот

координаты преобразуются по закону

Подставляя эти выражения в левую часть общего уравнения кривой, получим

Таким образом, для коэффициентов уравнения в новых координатах будут выполнены равенства

(2)

При повороте системы координат группа старших коэффицентов в новой системе координат определяется группой старших коэффициентов в старой системе координат и углом поворота системы координат.

Можно проверить, что

(3)

3.2.2. Инварианты кривой второго порядка

Определение. Инвариантом кривой называется функция, зависящая от коэффициентов уравнения кривой и не изменяющаяся при переходе к новой системе координат (поворот и сдвиг)

Теорема. Величины

где , являются инвариантами кривой второго порядка.

Доказательство. Для переноса инвариантность очевидна. Для

Умножим первую строку на , а вторую на, сложим и вычтем из третьей строки.

Теперь умножаем первый столбец на , а второй на, сложим и вычтем из третьего столбца.

Инвариантность для сдвига доказана.

Для поворота из (2) очевидно следует Равенствоотмечалось в (3). Непосредственой проверкой можно доказать и инвариантностьдля поворота системы координат.

3.2.3. Центр линии второго порядка

Предположима, что . Тогда переносом системы координат в точку, являющуюся решением системы

(4)

можно избавиться от коэффициентов . В такой системе координат уравнение кривой принимает вид

Если точка лежит на кривой, то и точкатакже принадлежит кривой. Это означает, что при неравенстве нулю второго инварианта кривая симметрична относительно начала координат. Такая кривая называется. Центр кривой находися из уравнений (4).