1.2. Линейно зависимые системы векторов на плоскости и в пространстве. Геометрический смысл линейной зависимости

Определние. Линейной комбинацией векторов с числами (коэффициентами)назвается сумма. Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Определние.Система векторов называется линейно зависимой (л.з.), если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору:

.

В противном случае система векторов называется линейно независимой (л.н.). Это можно сформулировать следующим образом: система векторов линейно независима, если из равенства нулю линейной комбинации следует, что всеравны нулю.

Отметим, что, если в системе есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависима. Действительно, пусть первый вектор системы нулевой: , в этом случае нетривиальная линейная комбинация, где будет равна нулевому вектору. Выясним геометрический смысл линейной зависимосити двух векторов на плоскости (позднее будет показано, что любые три вектора на плоскости являются линейно зависимыми).

Случай, когда один из векторов нулевой интереса не представляет. Пусть вектора не нулевые и линейно зависимы. Следовательно, сущесвуютне равные нулю одновременно и такие, что. Пусть, например,, тогда. В результате мы имеем нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю:.

Резюме. Линейная зависимость двух векторов на плоскости эквивалентна их коллинеарности.

Геометрический смысл линейной зависимости пространственных векторов будет рассмотрен позднее.

1.3. Базисы на плоскости и в пространстве. Ортонормирован­ные базисы. Разложение вектора по базису на плоскости и в пространстве

1.3.1.Базисы

Рассмотрим упорядоченную систему векторов (на плоскости или в пространстве). Упорядоченность означает, что вектора пронумерованы: .

Разложением вектора по системе называтся равенство

с некоторыми коэффициентами разложения .

Определение. Упорядоченная система векторов называется базисом в L ( L – плоскость или пространство), если выполнены два условия:

1. любой вектор может быть разложен по системе векторов:

,

2. коэффициенты этого разложения определяются единственным образом.

Определение. Базис называется ортогональным, если его вектора попарно ортогональны. Базис называется ортонормированным, если он ортогональный и состоит из единичных векторов.

Теорема. Любые два упорядоченных линейно независимых вектора на плоскости образуют базис.

Доказательство.Даны два линейно независимых вектора a ,b и произвольный вектор c .Постром параллелограмм со сторонами параллельными OA, OB и с диагональю OC (см. рис. 1.6). Полученные вершины обозначим . Векторможно выразить через:. Точно также:. Далее:c=a+b.

Рис. 1.6. Разложение по базису

Slide_1_6 «Координаты вектора в заданном базисе»

Докажем единственность разложения. Предположим, что имеется два разложения c=a+b и c=a+b , тогда a+b =0 . Так как, a , b линейно независимы, то .

Следствие. Любой набор из трех и более векторов на плоскости линейно зависим. В частности, три компланарных вектора линейно зависимы.

Теорема. Любыя упорядоченная тройка линейно независимых векторов в пространстве образует базис.

Геометрическое доказательство. Даны три линейно независимые вектора a ,b, c и произвольный вектор d (см. рис. 1.7). Построим параллелепипед с ребрами параллельными OA, OB, OC и с диагональю OD. Полученные вершины обозначим . Векторможно выразить через:. Точно также:и. Далее:d=

=a+b+c.

Рис. 1.7. Базис в пространстве

Докажем единственность разложения. Предположим, что имеется два разложения d=a+b+c и d=a+b+c, тогда a+b+c =0 . Так как векторы a,b,с линейно независимы, то .

Следствие. Любой набор из четырех и более векторов в пространстве линейно зависим.

Если задан базис (на плоскости или в пространстве), то любой вектор можно отождествлять с коэффициентами его разложения по этому базису. Эти коэффициенты называются координатами вектора в данном базисе. В общем случае базис называется аффинным, а координаты вектора в этом базисе называются аффинными координатами, в отличие от ортогонального или ортонормированного базиса.

1.3.2.Проекция вектора на ось.

Осью называется линия с заданным направлением (задан орт оси), см. рис. 1.8.

Рис. 1.8. Ось

Slide_1_8 «Ось»

Проекцией вектора на осьс направлениемe называется величина , где- проекция точки(начало вектора) на ось,- проекция точки(конец вектора) на ось,

, если ,

, если вектор и векторe одинаково направлены,

, в противном случае (см. рис. 1.9).

Рис. 1.9. Проекции

Slide_1_9 «Проекция вектора на ось»

Иллюстрация к этому определению в пространстве.

На рисунке 1.10 плоскости перпендикулярны осии пректируют начало и конец векторана ось.

Рис. 1.10. Проекция вектора на ось

Проекция вектора a на ось с ортом e обозначается Пр_ea или Пр_la .

Если обозначить угол между осью и вектором через (наименьший угол от вектораe до вектора ), то Пр_e(см. рис. 1.11).

Рис. 1.11. Проекция вектора на ось (зависимость от направления)

Рассмотрим ортонормированный базис i ,j на плоскости или i , j ,k в пространстве, см. рисунок 1.12.

Любой вектор может быть единственным образом разложен по этому базису.

Рис. 1.12. Декартовы базисы

На плоскости

a =a₁ i + a₂ j = (Пр_i a) i +(Пр_j a) j (см. Рис. 1.13)

Рис. 1.13. Проекция (суммы) на плоскости

В пространстве a =a₁ i + a₂ j + a₃ k = (Пр_i a) i +(Пр_j a) j +(Пр_k a) k (см. Рис. 1.14)

Рис. 1.14. Проекция (суммы) с пространстве

Базис i ,j на плоскости или i , j ,k в пространстве называют декартовым базисом, а система координат векторов в этом базисе называется декартовой системой координат.

Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами линейности:

1. Пр_e( a ) = Пр_e a

2. Пр_e(a+b ) = Пр_e a + Пр_e b

Slide_1_9_1 «Проекция произведения вектора на число»

Slide_1_9_2 «Проекция суммы векторов»

Первое свойство для следует непосредственно из определения проекции. Также из определения следует, чтоПр_e(-a ) = -Пр_e a . Отсюда следует справедливость первого свойства и для .

Для доказательства второго свойства воспользуемся разложением векторов по ортонормированному базису. Выберем декартову систему координат

i , j ,k так, что бы вектор i совпал с ортом e оси .

a =a₁ i + a₂ j+ a₃ k , b =b₁ i + b₂ j+ b₃ k .

Тогда

a + b =(a₁ +b₁) i + (a₂ +b₂) j+ (a₃ +b₃) k .

В силу единственности разложения по базису и равенства

a+b = (Пр_i (a+b)) i +(Пр_j (a+b)) j +(Пр_k (a+b)) k

получим

Пр_i (a+b) = a₁ +b₁= Пр_i a+ Пр_i b .