Производственная ситуация

Цель – формирование навыков разработки прогноза на основе метода наименьших квадратов.

В таблице 6.1 приведена динамика объемов продаж торговой фирмы, млн. руб. Для выполнения задания группа разбивается на подгруппы по 2-3 человека. Каждой подгруппе преподавателем выдается индивидуальное задание.

Таблица 7.1 – Динамика объемов продаж зерновых, тыс.т.

Годы	Уфакт
1	2
1	252
2	243
3	245
4	246
5	245
6	240
7	242
8	251
9	258
10	260
11	269
12	274
13	301
14	324

Порядок выполнения задания:

1) составить систему уравнений для линейной функции и найти ее параметры;

2) рассчитать прогноз на 15-й – 19-й годы с применением уравнения прямой;

3) составить систему уравнений для функции параболы и найти ее параметры;

4) рассчитать прогноз на 15-й – 19-й годы с применением уравнения и параболы;

5) рассчитать сумму квадратичных отклонений по каждой функции;

6) выбрать функцию, наиболее соответствующую динамике исходного ряда;

7) построить на графике исходный ряд и полученные прогнозы. Дать оценку достоверности полученных прогнозов.

Методические указания по применению уравнения прямой:

Уравнение прямой целесообразно применять для обработки динамического ряда с равномерно возрастающими (убывающими) значениями величин.

Формула уравнения прямой:

У(t)=а₀+а_{1 ∙} t , (7.1)

где У(t) – прогнозное значение;

t – порядковый номер периода.

Система нормальных уравнений для прямой:

, (7.2)

где n –– количество точек (уровней) в ряду динамики;

а₀ и а₁ –– коэффициенты регрессии.

Учитывая, что в преобразованном динамическом ряду получим:

(7.3)

Найдя значение а₀ и а₁, можно построить уравнение прямой.

Подставляя в полученное уравнение значения t_i , принятые при преобразовании естественных значений исходного ряда, получим выровненный ряд динамики (расчетные значения У).

Присвоив t_i значения, выходящие за пределы исходного ряда, получим прогнозируемые значения исследуемого показателя.

Пример1. Применение уравнения прямой:

Исходные данные: В таблице 7.2 приведены объемы продаж продукции за 9 лет.

Таблица 7.2- Исходные данные

Годы	Объем продаж, тыс. руб.
1	2
1	242
2	251
3	258
4	260
5	269
6	274
7	301
8	324
9	324

Рассчитать прогноз на 10-й – 12-й годы методом наименьших квадратов, используя уравнение прямой.

Для составления системы линейных уравнений для прямой составим расчетную таблицу:

Таблица 7.3- Расчетные показатели

Годы	Уфакт	t	t 2	У ∙ t
1	242	-4	16	-968
2	251	-3	9	-753
3	258	-2	4	-516
4	260	-1	1	-260
5	269	0	0	0
6	274	1	1	274
7	301	2	4	602
8	324	3	9	972
9	324	4	16	1296
Итого	2503	0	60	647

Система уравнений для прямой будет иметь вид:

а₀ ∙9 = 2503

а₁ ∙60 = 647 (7.4)

Решив систему уравнений, получим параметры уравнения прямой:

У(t) = 278,1 + 10,8 t. (7.5)

Рассчитаем прогноз, используя полученное уравнение:

У₁₀ = 278,1 + 10,8 ∙ 5 = 332,1 = 332

У₁₁ = 278,1 + 10,8 ∙ 6 = 342.9 = 343

У₁₂ = 278,1 + 10,8 ∙ 7 = 353,7 = 354

Рассчитаем отклонение фактических значений исходного ряда от расчетных (выровненных) значений, вычисленных на основании уравнения (7.5). Для этого вместо t подставим в уравнение значения, присвоенные в таблице 7.3.

Расчеты выполним в таблице 7.4.

Таблица 7.4- Расчет выровненных значений для уравнения прямой

Годы	Уфакт	t	Урасч	Уфакт - Урасч	(Уфакт - Урасч)2
1	242	-4	235	7	49
2	251	-3	246	5	25
3	258	-2	257	1	1
4	260	-1	267	-7	49
5	269	0	278	-9	81
6	274	1	289	-15	225
7	301	2	300	1	1
8	324	3	310	14	196
9	324	4	321	3	9
Итого	2503	0	2503	0	636

Методические указания по применению уравнения параболы:

Если эмпирические данные показывают, что увеличение уровней ряда происходит быстрыми темпами и график приближенно может быть представлен в виде ветви параболы второго порядка, то в качестве уравнения у(t) берется уравнение:

У(t) = a₀ + a₁∙ t + a₂∙t² (7.6)

Параметры уравнения рассчитываются по такому же принципу, как и для линейного уравнения. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

a∙n+b∙St+c∙St² = Sy; (7.7)

a∙St+b∙St² +c∙St³ =Sy∙t;

a∙St²+b∙St³ +c∙St⁴ =Sy∙t²;

Для упрощения расчета необходимо t придать такие значения, чтобы St было равно 0.

a∙n +c∙St² = Sy;

b∙St² =Sy∙t;

a∙St²+c∙St⁴=Sy∙t²; (7.8)

Пример 2. Применение уравнения параболы:

Для составления системы линейных уравнений для параболы составим расчетную таблицу:

Таблица 7.5- Расчетные показатели для уравнения параболы

Годы	Уфакт	t	t 2	t 4	У ∙ t	У ∙ t 2
1	242	-4	16	256	-968	3872
2	251	-3	9	81	-753	2258
3	258	-2	4	19	-516	1032
4	260	-1	1	1	-260	260
5	269	0	0	0	0	0
6	274	1	1	1	274	274
7	301	2	4	16	602	1204
8	324	3	9	81	972	2916
9	324	4	16	256	1296	5184
Итого	2503	0	60	708	647	17001

Система уравнений для параболы будет иметь вид:

а₀ ∙9 + а₂ ∙60 = 2503

а₁ ∙60 = 647

а₀ ∙60 + а₂ ∙708 = 17001

Решив систему уравнений, получим параметры уравнения параболы:

У(t)=271,3+10,8t + 1,0206 t²

Рассчитаем прогноз, используя полученное уравнение:

У₁₀ = 271,3+10,8 ∙ 5 + 1,0206 ∙25 = 350,8

У₁₁ = 271,3+10,8∙ 6 + 1,0206∙36 = 372,8

У₁₂ = 271,3+10,8∙ 7 + 1,0206 ∙49 = 396,9

Рассчитаем отклонение фактических значений исходного ряда от расчетных (выровненных) значений, вычисленных на основании уравнения (7.5). Для этого вместо t подставим в уравнение значения, присвоенные в таблице 7.2.

Расчеты выполним в таблице 7.6.

Таблица 7.6- Расчет выровненных значений для уравнения параболы

Годы	Уфакт	t	t 2	Урасч	Уфакт - Урасч	(Уфакт - Урасч)2
1	242	-4	16	245	-3	9
2	251	-3	9	248	3	9
3	258	-2	4	254	4	16
4	260	-1	1	261	-1	1
5	269	0	0	271	-2	4
6	274	1	1	283	-9	81
7	301	2	4	297	4	16
8	324	3	9	313	11	121
9	324	4	16	331	-7	49
Итого	2503	0	60	2503	0	306

Суть метода заключается в выборе функции, наиболее соответствующей динамике исходного ряда. Критерием правильности выбора функции является минимум квадратичного отклонения расчетных показателей от фактических. Таким образом, сущность МНК состоит в нахождении параметров модели, соответствующих критерию S.

(7.10)

Согласно выполненным расчетам, критерию S в наибольшей степени отвечает уравнение параболы, т.к. имеет меньшую сумму квадратичных отклонений. Следовательно, прогноз, полученный на основе уравнения параболы, является более достоверным.

Рекомендуемая литература:

Основная [1,3]

Дополнительная [1,5]

Электронные ресурсы [1]

Практическое занятие 8 Прогнозирование спроса и объемов продаж на основе аддитивной модели - 2 часа

Практическое занятие способствует усвоению теоретических знаний по вопросам моделирования: основных понятий, процедуре составления и основным видам моделей экономического прогнозирования и приобретению практических навыков применения методов моделирования в выполнении прогнозных расчетов, а также оценке достоверности прогнозов полученных при использовании различных моделей.

Производственная ситуация:

Исходные данные:

Группа разбивается на подгруппы по 2 человека. Каждая подгруппа получает индивидуальное задание. Задания по вариантам каждой группе студентов выдается преподавателем на занятии.

Методические указания к выполнению:

1. На основе исходной информации рассчитать скользящие средние с учетом заданного периода. Сглаженный ряд необходимо располагать строго по центру исходного ряда. Если исходная информация содержит четное количество периодов (2, 4 и т.д.), необходимо рассчитать центрированные скользящие.

2. Рассчитать сезонные отклонения за каждый период как разницу между фактическим значением исходного ряда и соответствующим значением скользящих средних (центрированных скользящих) в определенный период . Расчеты оформить в виде таблицы 8.1.

Таблица 8.1 –Расчет скользящих средних и сезонных отклонений

Год	Период	Объем продаж	Скользящие средние	Центрированные скользящие*	Отклонения

*Центрирование скользящих средних производится только для четных периодов.

3. Определить среднее значение отклонений за каждый сезон как среднеарифметическую величину.

4. Провести десезонализацию исходной информации. Для этого необходимо из фактического значения (У_факт) вычесть среднее сезонное отклонение за соответствующий период( S _ср):

У_дес = У_факт - S _ср (8.1)

Расчеты выполнить в форме таблицы 8.2.

Таблица 8.2 – Расчет сезонной компоненты

Год	Период	Уфакт	Средняя сезонная компонента (Sср)	Десезонали- зация (Уф - S ср)