![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Дискретная математика
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •4.Классы булевых функций :
- •X1 x2 X
- •5. Теория полноты
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •1); 2); 3); 4).
- •1) ; 2); 3);
- •4) ; 5);
- •5.4. Полные системы в классах т0, т1, м, s, l.
- •5.5 Базисы в классах t0 , t1, s, m, l Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •6 .Минимизация булевых функций
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •7. Исчисления высказываний
- •8. Семь теорем
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •Связные графы
- •Алгоритмы нахождения компонент связности
- •1. Поиск в ширину
- •2. Поиск в глубину
- •Укладки графов
- •Теорема Эйлера
- •Критерий Понтрягина-Куратовского
- •Раскраски графов
- •Основные понятия комбинаторики.
- •1 1.2 Упорядоченные наборы элементов изn-данных
- •1.3 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •1.4 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •2 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •3 Метод производящих функций
- •1324 0100.
- •4 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •Глава. Основы схем из функциональных элементов.
- •1) Мультиплексор порядка
- •2) Дешифратор порядка .
- •3) Универсальный многополюсник.
- •Глава. Введение в теорию конечных автоматов.
- •Глава. Введение в теорию кодирования.
- •Теория кодирования.
5.4. Полные системы в классах т0, т1, м, s, l.
Утверждение 1:
Полной
системой в классе Т0
является система
Доказательство:
Обе
функции принадлежат Т0.
Осталось показать, что
,
то есть любую
можно представить суперпозицией функций
Рассмотрим
и полином Жегалкина
Тогда свободное слагаемое данного
полинома равно 0 в силу того, что
.Поэтому
данный полином есть суперпозиция только
.
Это и есть требуемая суперпозиция.
Утвеждение 2:
В
классе Т1
полной является система
.
Доказательство:
Рассмотрим
.
Покажем, что ее можно получить суперпозицией
.
В дальнейшем потребуются функции:
Рассмотрим
функции
(k+1 – число наборов, на которыхf
равна единице), которые получаются из
по правилу:
для каждой функции оставляем соответствующий единичный набор, а на остальных (кроме 1…1) приравниваем к нулю.
Например:
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
В
результате дополнительных функций
будет столько, сколько единичных наборов
без последнего. Очевидно
Поэтому,
чтобы найти представление функциичерез
достаточно найти представление каждой
из добавочных функций через
Если
f
имеет
один единичный набор,
то
это есть элементарная конъюнкция
переменных без отрицания. В противном
случае рассмотрим дополнительную
функцию fi
.
Не теряя общности будем считать, что
соответствующий единичный набор имеет
вид:
.
Тогда справедливо:
Например:
f1
равна 1 на наборах 010 и 111, поэтому
Утверждение 3:
В
классе S полной является система
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
Все
функции в данной системе являются
самодвойственными. В дальнейшем
потребуется
- это самодвойственная фукция от 3-ех
переменных, которая совпадает с логическим
сложением на тех наборах, где первая
переменная равна нулю (тогда на остальных
наборах функция однозначно доопределяется
по самодвойственности).
Самодвойственных функций, существенно зависящих от двух переменных нет:
0 0 01 0 1 1 0
0 1 01 0 1 0 1
1 0 10 1 0 1 0
1 1 10 1 0 0 1
Функции,
не имеющие существенных переменных –
константы, т.е. не самодвойственные
функции от одной переменной есть
.
коммутативные
операции, относительно второй и третьей
переменных при фиксированной первой:
и ассоциативны относительно второй и третьей переменных при фиксированной первой:
Будем
обозначать:
Из
этих двух свойств следует что значение
выражения, в котором присутствуют
символы
не зависят от порядка расположения
скобок в нем и расположения множителей.
Например:
Выражение,
в котором присутствует символ
на наборах, в которых
равно 1, тогда и только тогда, когда все
переменные выражения равны 1:
=0
и
Значение
выражения, в котором присутствует
не зависит от расположения скобок и это
выражение на наборах в которых
равно 1, когда хотя бы одна из переменных
равна 1.
Утверждение:
Например:
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Доказательство:
Рассуждения в этом случае аналогичны случаю представления функции в виде СДНФ.Формальное доказательство следующее.
Заметим,
что данное равенство достаточно показать
только на первой половине наборов, где
,
тогда на оставшихся наборах равенство
будет справедливо в силу самодвойственности
функции в левой части и функции в правой
части, как суперпозиция самодвойственных.
Рассмотрим
набор
Покажем, что значение правой части на данных наборах равен 1 соответственно 0.
1)
Рассмотрим слагаемые правой части,
которые соответствуют набору
.
Значение
данного слагаемого на наборе
равно
,
т.к. значение степени и основания
совпадают, каждый множитель этого
слагаемого равно 1, поэтому и все
произведение равно1.
А поэтому значение всей дизъюнкции равно 1, т.к. существует слагаемое, равное 1.
2)
.
Рассмотрим произвольное слагаемое в
правой части. Пусть оно соответствует
единичному набору
тогда
наборы
и
различны, поэтому
,
тогдаi-ый
множитель на наборе
будет равен 0, таким образом все слагаемые
равны 0. Тогда значение всей правой части
равно 0 на наборе
. Утверждение доказано.
4)
В классе монотонных функций полной
является система
.
Определение:
Нижней
единицей
монотонной функции называют набор
значений переменных этой функции, на
котором
и для любого набора
Пример:
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
набор
001 для монотонной функции
является нижней единицей набор 110 тоже
нижняя единица функции
.
Утверждение:
Пусть
для монотонной функции
:
,
.
Тогда справедливо представление:
Иначе говоря, для каждой нижней единицы записывается конъюнкция переменных, которые равны 1 в данном наборе, затем берем логическую сумму полученных слагаемых.
В
данном примере разложение следующее:
Доказательство:
1)
тогда рассматриваем тот нижний набор,
который меньше либо равен чем
рассматриваемый
,
тогда в силу того, что
в тех местах, где в наборе
стоит 1, в
также
должна стоять 1.
Поэтому
слагаемое, соответствующее набору
равно 1 на наборе
,
а поэтому и вся дизъюнкция равна 1.
2)
Рассмотрим
произвольное слагаемое, которое
соответствует нижней единице
,
на наборе
и покажем, что значение этого слагаемого
равно 0 на наборе
.
Допустим противное,
,
что соответствующее слагаемое на
наборе
равно
1.Тогда в тех местах , где в наборе
стоит 1 в наборе
также
стоит 1, то есть
.
Но в силу того, что
получаем противоречие, т.к. значение
,
в то время как
5)
В классе L
полной системой является следующая
.
Доказательство:
а это и есть все линейные функции.