![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Дискретная математика
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •4.Классы булевых функций :
- •X1 x2 X
- •5. Теория полноты
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •1); 2); 3); 4).
- •1) ; 2); 3);
- •4) ; 5);
- •5.4. Полные системы в классах т0, т1, м, s, l.
- •5.5 Базисы в классах t0 , t1, s, m, l Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •6 .Минимизация булевых функций
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •7. Исчисления высказываний
- •8. Семь теорем
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •Связные графы
- •Алгоритмы нахождения компонент связности
- •1. Поиск в ширину
- •2. Поиск в глубину
- •Укладки графов
- •Теорема Эйлера
- •Критерий Понтрягина-Куратовского
- •Раскраски графов
- •Основные понятия комбинаторики.
- •1 1.2 Упорядоченные наборы элементов изn-данных
- •1.3 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •1.4 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •2 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •3 Метод производящих функций
- •1324 0100.
- •4 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •Глава. Основы схем из функциональных элементов.
- •1) Мультиплексор порядка
- •2) Дешифратор порядка .
- •3) Универсальный многополюсник.
- •Глава. Введение в теорию конечных автоматов.
- •Глава. Введение в теорию кодирования.
- •Теория кодирования.
1) ; 2); 3);
4) ; 5);
Можно ли из соответствующих систем функций получить следующие функции , и если “да”, то напишите определяющее выражение:
6)
из
системы функций
получить функцию
;
7)
из
системы функций
получить функцию 0 ;
8)
из
системы функций
получить функции
;
9) из системы функций
получить
функции
;
10)
из системы функций
получить функции
;
Предполные классы булевых функций
Определение:
Предполным
классом К называется неполный класс,
при добавлении любой функции,
которая не принадлежит ему, получается
класс полный.
Утверждение:
Предполный класс является замкнутым.
Доказательство:
Допустим противное, что некоторый
предполный класс К не замкнут:
, тогда рассмотрим функцию
т.е. [ K,f ] не полный
Теорема:
В
классе булевых функций
есть
ровно пять предполных классов :
.
Доказательство :
В начале покажем, что данные классы являются предполными, а затем покажем, что других предполных классов нет.
Рассмотрим
.
Данный класс содержит функции:
поэтому
класс Т0
не принадлехит классам Т1,
S, М, L.
Рассмотрим
произвольную
, тогда
не принадлежит ни одному из пяти классов
Поста, следовательно по теореме Поста
является полной, следовательно класс
является предполным.
2) Рассмотрим Т1:
Рассмотрим
произвольную
не принадлежит ни одному из пяти классов,
следовательно по теореме Поста является
полной, следовательно
предполный.
3) Рассмотрим S:
Рассмотрим
не принадлежит ни одному из пяти классов
Поста, следовательно по теореме Поста
является полной, следовательно
предполный .
4)
Рассмотрим
:
Рассмотрим
не принадлежит ни одному из пяти классов,
следовательно по теореме Поста система
полна, следовательно
предполный.
5) Рассмотрим L:
Рассмотрим
не принадлежит ни одному из пяти классов,
следовательно по теореме Поста система
полна, следовательно
предполная. Все перечисленные классы
не полны по теореме Поста.
Покажем,
что других предполных классов в
нет.
Допустим
противное, что
-
предполный :
,
следовательно в данном классе
:
РИС.1
в
силу того, что класс
-
предполный, следовательно включение
на рис.1 невозможно, т.к. если бы было
наоборот, то рассмотрим
,
мы бы получили, что все функции системы
сохраняют
0, поэтому полной система
не является, следовательно
не является предполным.
По
этой же причине в классе
должна быть,
,
должна быть
,
должна быть
,
должна быть
,
следовательно из этих включений следует,
что система
является полной, противоречие с
предполнотой этой системы.
Упражнения:
Найдите определяющие выражения функций через суперпозиции функций системы.
1)
2)
3)
4)
5)
Полные системы в классах булевых функций.
Определение:
Полной системой бул. функций в замкнутом классе К является система функций, которая принадлежит данному классу, и замыкание которой совпадает с самим классом
.
Определение:
Базисом в замкнутом классе К называют систему В, которая полна в этом классе, но любая собственная подсистема полной в классе не является.
Пример
1: Рассмотрим
множество всех булевых функций Р2.
В этом множестве рассмотрим систему
.Эта
система полна по т. Поста .
Чтобы определить,что все собственные подсистемы не полны, достаточно рассмотреть лишь максимальные по включению собственные подсистемы данной, получаемые из данной удалением какой-либо функции.
Если ни одна из этих подсистем не является полной, то полной не является и любая другая собственная подсистема (докажите предыдущие утвеждения)
В
данном примере максимальные собственные
подсистемы не полны, значит
является
базисом вР2.
Пример
2: Является
ли система
базисом
вР2?
,
поэтому система полна, но собственная
подсистема
также
полна, поэтому данная система не базис
вР2.
Определение:
Скажем,
что функция
f не зависима
от системы
,
если эта функция не принадлежит замыканию
системы :
.
Пример
1:
Рассмотрим функцию
и систему
:
Утверждаем,
что
не зависит от этой системы. Действительно,
все функции системы являются линейными,
поэтому в силу того, что суперпозиция
линейных функций есть линейная функция,
замыкание этой системы принадлежит
классу линейных функций, а
— функция не линейная. Поэтому
не зависит от данной системы функций.
Пример
2:
Рассмотрим функцию
и систему
:
x1
x2
0 0 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1
Значит,
зависима от функции
.
Примечание: если функция не является независимой от системы, то будем называть ее зависимой от данной системы.
Утверждение:
Если
система функций
базис в замкнутом классе К , то тогда
каждая функция базиса независима от
оставшихся.
Доказательство:
Предположим
противное: пусть существует базис
в
котором некоторая функция является
зависимой от оставшихся. Для определенности
будем считать, что это
поэтому
выражается через некоторые суперпозиции
функций системы
,
но тогда система
также
является полной в классеК,
поэтому
не является базисом. Утверждение
доказано.
Пример 1:
базис
в
Р2
Упражнение:
Докажите
справедливость обратного утверждения:
пусть
полная
система в К, и любая функция системы не
зависит от оставшихся, тогда система –
базис в К.