![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Дискретная математика
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •4.Классы булевых функций :
- •X1 x2 X
- •5. Теория полноты
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •1); 2); 3); 4).
- •1) ; 2); 3);
- •4) ; 5);
- •5.4. Полные системы в классах т0, т1, м, s, l.
- •5.5 Базисы в классах t0 , t1, s, m, l Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •6 .Минимизация булевых функций
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •7. Исчисления высказываний
- •8. Семь теорем
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •Связные графы
- •Алгоритмы нахождения компонент связности
- •1. Поиск в ширину
- •2. Поиск в глубину
- •Укладки графов
- •Теорема Эйлера
- •Критерий Понтрягина-Куратовского
- •Раскраски графов
- •Основные понятия комбинаторики.
- •1 1.2 Упорядоченные наборы элементов изn-данных
- •1.3 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •1.4 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •2 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •3 Метод производящих функций
- •1324 0100.
- •4 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •Глава. Основы схем из функциональных элементов.
- •1) Мультиплексор порядка
- •2) Дешифратор порядка .
- •3) Универсальный многополюсник.
- •Глава. Введение в теорию конечных автоматов.
- •Глава. Введение в теорию кодирования.
- •Теория кодирования.
Укладки графов
Определение.
Граф
называется планарным,
если его можно уложить на плоскости без
пересечения ребер.
Пример.
Полный граф (граф, содержащий всевозможные
ребра) на
и
вершинах является планарным (
):
Примеры непланарных графов:
полный
граф на
вершинах (
)
является непланарным;
двудольный
граф с
вершинами в каждой доле (
)
является непланарным.
Определение.
Двудольным
графом
называется граф, вершины которого можно
разбить на два непересекающегося
множества
и
,
любое ребро которого соединяет пару
вершин из различных множеств
и
.
Определение.
Полным двудольным графом называется
двудольный граф, содержащий всевозможные
ребра, концы которых расположены в
разных долях
и
графа.
Покажем
непланарность графов
и
.
Предположим
противное: граф
планарен. Рассмотрим укладку этого
графа на плоскости без пересечений
ребер. Рассмотрим цикл из
ребер, который соединяет рассмотренные
вершины. Этот цикл разобьет плоскость
на две связные области
и
(любую пару вершин из одной и той же
области можно соединить непрерывной
линией, которая не пересекает ребра
цикла, а пару вершин из различных областей
связности соединить непрерывной линией
без пересечений ребер нельзя). Рассмотрим
ребро укладки, которое соединяет пару
вершин
и
.
Это
ребро будет расположено либо в области
,
либо в области
.
Эти возможности подобны. Предположим,
это ребро расположено в области
.
Тогда пара вершин
,
должна быть соединена ребром, расположенном
в области
.
Другая пара вершин –
,
должна быть соединена ребром, расположенном
в области
.
Пара вершин
,
должна соединяться ребром из области
.
Тогда пару вершин
,
нельзя соединить ребром, не пересекающим
другие ребра укладки.
Покажем
непланарность графа .
Такой
граф содержит цикл, состоящий из
ребер. Доказательство будем строить от
противного. Предположим, что существует
планарная укладка графа
на плоскости. Тогда цикл из
ребер разбивает плоскость на две области
связности:
и
.
Вершины
и
должны соединяться ребром, которое
проходит либо в
,
либо в
.
Эти возможности рассматриваются подобным
образом. Пусть ребро
проходит в
,
тогда вершины
,
должны
соединяться ребром в
.
Тогда вершины
и
соединить без пересечения других ребер
нельзя.
Таким
образом, показано, что графы
и
непланарны.
Что и требовалось доказать.
Определение. Рассмотрим укладку планарного графа на плоскости. Тогда ребра графа разрезают плоскость на связные области, которые будем называть гранями укладки.
Теорема Эйлера
Рассмотрим
связный планарный граф
с числом вершин
и числом ребер
.
Число граней в любой планарной укладке
данного графа равна k.
Данные три параметра связаны соотношением:
Доказательство:
Доказательство будем проводить по индукции по числу граней в укладке планарного графа.
1-ый
шаг индукции. Рассмотрим граф с
единственной гранью. Связный граф с
единственной гранью – дерево (так как
грань одна, то циклов в графе быть не
может, поскольку каждый цикл разрезает
плоскость на 2 области). Известно, что в
дереве на
вершинах
ребро. Подставив данные значения в
формулу, получаем тождество:
k-ый
шаг индукции. Допустим, что утверждение
доказано для планарного связного графа
с числом граней k-1>1.
Рассмотрим планарный граф, с числом
граней k.
Так как k,
то в таком графе есть цикл. Рассмотрим
грань H,
в которой граница - некоторый цикл
.
Пусть
– некоторое ребро этого цикла. Удалим
это ребро. Получим связный граф с тем
же самым числом вершин
,
с числом ребер на
меньше (
)
и с числом граней k-1.
Тогда, применяя предположение индукции:
Что и требовалось доказать.
Определение.
Операция
подразбиения
ребра
называется преобразование этого ребра,
при котором между вершинами
и
вставляется новая вершина
.
Определение. Операция стягивания обратна операции подразбиения:
(вершина h в графе смежна только вершинам v и w)