3 Случай :

X	f0	f1
0	1	1
1	0	0

т.е .

Построим вывод :

Пусть и пара противоположных наборов, на которых значение функции одно и то же, и равно, для определенности нулю:.

Разобьем множество всех переменных на две группы. В первую отнесем все переменные, которые равны нулю в первом наборе, во вторую, которые равны единице в первом наборе:

Теперь в переменные подставимx, а в подставим:.

Нетрудно видеть, что полученная функция есть константа 0, т.к. данная функция в нуле равна значению первоначальной функции на первом наборе, т.е. нулю, а в единице равна значению первоначальной функции на втором наборе, т.е. нулю. Константу 1 получим подстановкой 0 в функцию .

Например, пусть пара противоположных наборов, на которых равна нулю, имеют вид :

X1	x2	X3	x4	x5	f
0	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	0

Тогда .

Iый этап завершен.

II этап :

Построим вывод :

Рассмотрим полином Жегалкина функции..

В силу того, что  нелинейная, полином содержит по крайней мере одно слагаемое, которое есть конъюнкция по крайней мере двух переменных. Для определенности будем считать, что эта конъюнкция первых двух переменных. Используя дистрибутивность умножения относительно суммы, сгруппируем слагаемые следующим образом .

Из всех слагаемых, содержащих ивынесем за скобку конъюнкцию этих двух переменных; полином в скобках обозначим; из всех слагаемых, содержащих только,

вынесем за скобку :; из всех слагаемых, содержащих, вынесем:; останутся слагаемые, которые не содержат ни, ни, обозначим этот полином.

Из единственности полинома Жегалкина следует, что существует значениепеременных, при котором. Совершим соответствующие подстановки констант в нелинейную функцию.

Таким образом, получили функцию,

где некоторые константы.

Имеем восемь случаев :

1	2	3	f(x1,x2)
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1
1	0	0
1	0	1
1	1	0
1	1	1

На самом деле достаточно рассмотреть всего лишь четыре случая, а именно, случай сводится к случаю, когдаподстановкой соответствующей функции в функцию отрицания.

Таким образом, достаточно рассмотреть случаи:

1); 2); 3); 4).

1)

Требуемая конъюнкция получена.

2) .

3) .

4)

Например, из получим. После группировки слагаемых получаем, полиномравен 1, например, если,. Подставляем 1 в, 0 в, получаем функцию. Подставляемв переменную, получаем.

Упражнение 1: Исследовать на полноту:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Упражнение 2: Получить из функциифункции.

1)

2)

4)

5)

не полная

6)

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

Примеры:

1) Исследовать на полноту систему :

	T0	T1	S	M	L
f1	-	+	-	-	-
f2		-
f3

2) Исследовать на полноту систему

:

	T0	T1	S	M	L
f1	+	-	-	+	+
f2	-			+	+
f3				+	-
f4				+	-
f5				+

Система неполная, т.к. имонотонны, то и суперпозиция этих функций монотонны,поэтому пятая функция тоже монотонна.

Система принадлежит монотонному классу, поэтому неполна.

3) Можно ли из системы функций

получить функцию 0 :

	T0	T1	S	M	L
f1	-	-	+	-	+
f2			+
f3			+		+

Система принадлежит классу самодвойственных функции, в силу замкнутости этого класса, и в силу несамодвойственности 0, получить 0 из функций системы нельзя.

4) Можно ли из системы функций

получить и, и если «да», опишите определяющие выражения :

	T0	T1	S	M	L
f1	+	-	-	-
f2	-
f3					-

Система полная, поэтому получить можно любые функции.

I :

II:

5) Можно ли из системы функций

получить функции

, и если “да”, опишите определяющие выражения :

	T0	T1	S	M	L
f1	-	-	-	-
f2					-

x1	x2	x3	f1
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0 -
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0 -
1	1	0	1
1	1	1	0

I :

Упражнения : Исследовать на полноту системы :