31. Приведение пары форм к диагональному виду

Наиболее простой вид матрица линейного оператора имеет, когда базисом является система ее собственных векторов, т.е. все ее собственных значений различны. В этом случае , при и , т.е. матрица является диагональной:

.

Следовательно, для того чтобы привести матрицу оператора к диагональному виду согласно формуле , в качестве матрицы нужно взять матрицу, столбцами которой должны быть собственные векторы оператора .

32. Число обусловленности матрицы. Связь с приближенным

решением систем линейных уравнений

Число обусловленности матрицы показывает насколько матрица близка к матрице неполного ранга (для квадратных матриц - к вырожденности).

Рассмотрим систему линейных уравнений

Ax=b

(1)

Если матрица A вырожденная, то для некоторых b решение x не существует, а для других b оно будет неединственным. Следовательно, если A почти вырожденная, то можно ожидать, что малые изменения в A и b вызовут очень большие изменения в x. Если же взять в качестве A единичную матрицу, то решение системы (1) будет x=b. Следовательно, если A близка к единичной матрице, то малые изменения в A и b должны влеч за собой малые изменения в x.