-
Матрица линейного отображения (оператора), переход к новому
базису, ранг, детерминант оператора.
Матрица
линейного оператора.
Пусть U и V – конечномерные пространства,
L : U → V – линейный оператор, f – базис
U, а g – базис V . Матрицей оператора L в
базисах f, g называется такая матрица
,
что для любого x ∈
U выполнена
формула
(нетрудно
доказать,
что такая матрица существует и
единственна). 9 В наиболее важном случае,
когда U = V и f = g матрица оператора
обозначается через
,
а формула приобретает вид
Переход к новому базису
k-й
столбец матрицы
равен
столбцу координат вектора
в
базисе f. Одной формулой:
=
В качестве определения матрицы перехода можно взять любую из формул
Ранг матрицы оператора не зависит от выбора базиса и равен размерности образа этого оператора
Определитель матрицы оператора не зависит от выбора базиса и равен произведению собственных чисел оператора с учетом их алгебра- ической кратности
-
Различные характеризации невырожденного оператора
-
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, способы их нахождения. Диагонализируемость оператора с простым спектром.
Собственное число и вектор. Число λ называется собственным числом оператора L, если существует ненулевой вектор x такой, что L(x) = λx. При этом вектор x называется собственным вектором оператора L, отвечающим собственному числу λ.
Критерий диагонализуемости оператора. L – диагонализуем тогда и только тогда, когда существует базис из его собственных векторов (оператор называется диагонализуемым, если существует базис простран- ства V , такой что матрица оператора в этом базисе является диагональ- ной).
-
"Поднятие" характеристического и минимального многочленов с ограничений оператора на инвариантных прямых слагаемых.
Если A – матрица n × n, то выражение χA(λ) = det(A−λE) является многочленом степени n от пере- менной λ. Он называется характеристическим многочленом матрицы A. Характеристическим многочленом оператора L : V → V называется ха- рактеристический многочлен его матрицы в любом базисе пространства V (он не зависит от выбора базиса). Корни характеристического многочлена и только они являются собственными числами оператора.
-
Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств, отвечающее разложению минимального многочлена на взаимно простые множители
-
Существование одно- или двумерного инвариантного подпространства относительно оператора, действующего в вещественном пространстве
-
Совпадение корней минимального и характеристического
полиномов оператора
-
Корневые подпространства операторов в комплексном пространстве, теорема Гамильтона-Кэли
Теорема
Гамильтона-Кэли. Всякий
линейный оператор
и матрица этого оператора аннулируются
своим характеристическим многочленом
Следствие 1.
Характеристический
многочлен линейного оператора
делится
на его минимальный многочлен.
Следствие 2. Каждая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.
-
Критерий диагонализируемости линейного оператора
L – диагонализуем тогда и только тогда, когда существует базис из его собственных векторов (оператор называется диагонализуемым, если существует базис простран- ства V , такой что матрица оператора в этом базисе является диагональ- ной).
-
Жорданова форма матрицы. Алгоритм нахождения Жордановой нормальной формы матрицы.
Жорданова форма. Матрица вида
называется жордановой матрицей или жордановой формой матрицы оператора. Теорема. Для любого оператора, действующего в комплексном линейном пространстве, существует базис, в котором его матрица жорданова. Такой базис называется жордановым базисом оператора. Естественно, любая из клеток может иметь размер 1 × 1. Если все жордановы клетки имеют такой размер, то жорданова форма – это просто диагональная форма матрицы оператора.
Для
нахождения жордановой формы 
квадратной
матрицы 
нужно
выполнить следующие действия.
1.
Составить характеристическую матрицу 
.
2. Найти ее инвариантные множители одним из способов
3. По инвариантным множителям составить таблицу элементарных делителей.
4.
По элементарным делителям составить
жорданову форму 
.