- •Для экзамена
- •Условие изоморфизма конечномерных линейных пространств
- •Матрица перехода к новому базису, изменение координат вектора.
- •Линейные подпространства, размерность линейной оболочки,
- •Формула для размерности суммы двух подпространств
- •Прямая сумма подпространств, различные определения
- •Линейное отображение векторных пространств, ядро и образ.
- •Матрица линейного отображения (оператора), переход к новому
- •Различные характеризации невырожденного оператора
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, способы их нахождения. Диагонализируемость оператора с простым спектром.
- •"Поднятие" характеристического и минимального многочленов с ограничений оператора на инвариантных прямых слагаемых.
- •Сопряженное пространство, дуальные базисы, второе сопряженное пространство
- •Билинейные функции и формы, изменение матрицы при переходе
- •Алгоритм Лагранжа для приведения квадратичной формы к
- •Закон инерции вещественных квадратичных форм.
- •Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра.
- •Евклидовы пространства, условие изоморфизма.( не точно!)
- •Неравенство Коши-Буняковского. Модуль вектора, расстояние и косинус угла между векторами.
- •Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
- •Ортогональное дополнение к подпространству евклидова
- •Ортогональные операторы и ортогональные матрицы. (не весь!)
- •Простейший вид матрицы ортогонального оператора евклидова
- •Существование ортогонального базиса из собственных
- •Норма оператора. Норма симметрического оператора.
- •Приведение квадратичной формы ортогональным
- •Приведение пары форм к диагональному виду
- •Число обусловленности матрицы. Связь с приближенным
-
Линейным Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.
Действие оператора обозначают y = A(x), y — образ x, x — прообраз y.
Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.
Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:
A(u + v) = A(u ) + A(v) , A(α·u) = α· A(u).
-
Рассмотрим линейный оператор A, действующий в линейном пространстве X: y = A(x), ∀x ∈ X, y ∈ X.
Число λ называется собственным значением оператора A, если существует такой ненулевой вектор x, что справедливо равенство A(x) = λ·x. Любой ненулевой вектор x ≠0, удовлетворяющий этому уравнению, называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ.
A(x) = λ·x, x ≠0, x ∈ X.
-
Матрица A = {aij} называется матрицей квадратичной формы. Определённая таким образом матрица квадратичной формы является симметричной матрицей.
Для экзамена
-
Условие изоморфизма конечномерных линейных пространств
Два линейных пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются условия:
1) сумме векторов пространства соответствует сумма соответствующих векторов пространства
2) произведению числа на вектор пространства соответствует про изведение того же числа на соответствующий вектор пространства
Другими словами, изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции
-
Матрица перехода к новому базису, изменение координат вектора.
Пусть векторы , ... , образуют базис пространства V, а векторы , , ... , - другой базис этого пространства. Каждый вектор разлагается по базису , ... , . Запишем эти разложения в виде системы равенств
= + + ... + ,
= + + ... + ,
............................................
= + + ... + (2)
или, кратко,
=
(суммирование по первому индексу коэффициентов ).
Коэффициенты разложений (2) образуют матрицу T перехода от базиса , ... , к базису , , ... , .
-
Линейные подпространства, размерность линейной оболочки,
способы задания линейного подпространства
Множество K векторов из линейного пространства L называется линейным подпространством пространства L , если сумма x + y любых двух векторов x и y из L принадлежит K и произведение α·x любого числа α и любого вектора x и y из L принадлежит K:
Размерность линейной оболочки столбцов (строк) матрицы равна рангу матрицы.
Линейные подпространства могут быть заданы двумя способами: или однородной системой линейных уравнений илилинейной оболочной.
-
Формула для размерности суммы двух подпространств
Теорема о размерности суммы двух линейных подпространств (формула Грассмана). Если U и V – подпространства линейного пространства W, то
dim U + dim V = dim(U + V ) + dim(U ∩ V ).
-
Прямая сумма подпространств, различные определения
Определение 1 Пространство V называется прямой суммой подпространств U и W, если каждый элемент v ∈ V мо жет быть единственным способом представлен в виде суммы v = u + w, где u ∈ U, а w ∈ W. Обозначение: V = U ⊕ W. Эквивалентная формули- ровка: V = U ⊕ W, если V = U + W и U ∩ V = ∅. Если V = U ⊕ W, то объединение базисов подпространств U и W есть базис пространства V .
Определение 2 Определение. Пусть и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства . Сумма подпространств называется прямой суммой, если , существует только одна пара векторов , такая, что .
-
Линейное отображение векторных пространств, ядро и образ.
Линейным отображением векторного пространства S в векторное пространство T называется функция α, определенная на S со значениями а T,удовлетворяющая требованию линейности
Ядром линейного отображения L : U → V называется множество всех тех элементов x пространства U, для которых L(x) = 0 (т. е. ядро линейного оператора – это пространство решений уравнения L(x) = 0). Обозначение: Ker L
Образом линейного отображения Образом линейного оператора L : U → V называется множество всех элементов y пространства V , представимых в виде y = L(x). Образ обозначается через Im L. Другими словами
Im L = {L(x)| x ∈ V }