Способы задания и сложения сил. Сходящаяся система сил. Геометрический и аналитический методы при определении реакции связи, сходящейся системы сил

Существует два способа задания и сложения сил:

1. геометрический;

2. аналитический;

В первом случае сила задается ка вектор, во втором с помощью проекций на оси координат.

Рассмотрим, как складываются силы на примере сходящейся системы сил.

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Эти силы могут быть в плоскости и в пространстве.

Геометрический способ

В соответствие с четвертой аксиомой, равнодействующая двух пересекающихся сил приложена к точке их пересечения и определяется как диагональ.

Равнодействующая будет также действовать как F₁ и F₂. На этих силах можно построить силовой треугольник.

С помощью теоремы синусов можно найти зависимость сил.

Если имеем систему сходящихся сил, то главный вектор можно определить путём последовательного сложения сил по правилу параллелограмма, но удобнее строить силовой многоугольник.

Система сходящихся сил имеет равнодействующую равную главному вектору этих сил и приложена в точке пересечения.

Из рассуждений очевидно, если силовой многоугольник замкнут, то равнодействующая равна нулю и все силы взаимно уравновешены. Это положение выражает условие равновесия сходящихся сил в геометрической форме.

Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу необходимо и достаточно, чтоб равнодействующая равнялась нулю.

Аналитический способ задания и сложения сил.

Силу можно задать с помощью проекции на ось. Проекция вектора на ось – длина отрезкаab.

На плоскости:

Проекция силы F на плоскость О_ху – вектор F_xy, заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость, т.е. проекция силы на плоскость величина векторная, характеризуется не только числовым значением, но и направлением в плоскости О_ху

Тогда модуль проекции F на плоскость Оху будет  равен:

Например, чтобы определить проекцию силы F на ось х, надо спроецировать ее на плоскость Оху, а затем разложить проекцию силы F_xy на составляющие по осям координат Fx и Fy.

В пространстве:

Для сложения сил аналитический служит теорема «о проекции вектора суммы»:

Проекция вектора суммы на ось равна алгебраической сумме слагаемых сил на ту же ось.

(1)

Если рассматривается система сходящихся сил в равновесии, то вектор равен нулю, то есть из (1) вытекает условие равновесия:

Для равновесия любой сходящейся системы сил (на плоскости или в пространстве) необходимо и достаточно, чтоб сумма проекций сил на каждую координатную ось равнялась нулю.

Если силы находятся в одной плоскости, то достаточно двух уравнений.

β

Составляем уравнение сходящейся пространственной системы сил.

Силы уравновешиваются. Для определения Т₁, Т₂, R_c используем аналитические условия равновесия.

Теорема о трех силах

Если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линия этих сил пересекается в одной точке, а силовой треугольник должен быть замкнут.

Так как тело находится в равновесии под действием трех сил, то равна и противоположна.

При равновесии тела под действием трех сходящихся сил, из линии действия должны пересечься в одной точке.

β

Силовой треугольник замкнут.

Пример 1

Действуют три силы: Т, N, Р

Геометрический способ

Аналитический способ

Пример 2

Так как тело находится в равновесии трех сил, P, T, R_a, то линии действия этих сил должны пересечься в одной точке.

Решим задачу геометрическим способом

Аналитический метод решения

Составим уравнения равновесия в аналитической форме.

При решении задач данного типа применяется принцип освобождаемости от связи, то есть вместо связей указываются их реакции и нагрузки.

Если число неизвестных величин больше числа уравнений равновесия, то задача статически неопределима, а система сил называется статически неопределимой.