Лабораторная работа №5

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Целью работыисследовать методики решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в интегрированной среде MathCad

Содержание работы

1. Исследовать матричный метод (метод Крамера) решения СЛУ;

2. Исследоватьметод Гаусса;

3. Исследоватьметод простой итерации (метод Якоби);

4. Исследовать метод Зейделя.

Перечень необходимых материалов, реактивов, приборов, оборудования

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.

Методические указания

1. Матричный метод (метод Крамера)

Требуется найти решение системы m линейных уравнений, которая записывается в общем виде как

(5.1)

Эту систему уравнений можно записать также в матричном виде:

(5.2)

где

A– матрица системы,– вектор правых частей,– вектор неизвестных.

При известных A и требуется найти такие, при подстановке которых в систему уравнений она превращается в тождество.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения СЛАУ является условие det A≠0, т.е. определитель матрицы A не равен нулю. В случае равенства нулю определителя матрица A называется вырожденной и при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.

При небольшой размерности системы m (m = 2,…,5) на практике часто используют формулы Крамера для решения СЛАУ:

2. Метод Гаусса

Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений

(5.3)

первый элемент . Назовем его ведущим элементом первой строки. Поделим все элементы этой строки наи исключимиз всех последующих строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффициент прив соответствующей строке. Получим

(5.4)

Если , то, продолжая аналогичное исключение, приходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей

(5.5)

Из нее в обратном порядке находим все значения

(5.6)

Процесс приведения к системе с треугольной матрицей называется прямымходом, а нахождения неизвестных –обратным. В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм неприменим. Кроме того, если какие–либо ведущие элементы малы, то это приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому предварительно необходимо выбирать главный элемент путем перестановки строк, а также столбцов с соответствующей перенумерацией коэффициентов и неизвестных так, чтобы выполнялось условие:

т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляя уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент a₁₁был максимальным по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x₁из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д.