Методические указания

1. Метод Эйлера

Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

2. Дифференциальные уравнения в частных производных.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать виде

(4.1)

независимая переменная

Наивысший порядок , входящий в уравнение (4.1) называется порядком дифференциального уравнения.

Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) разрешенное относительно производной

(4.2)

Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция, которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество.

Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши: найти решение уравнения (2) в виде функции удовлетворяющий начальному условию(4.3)

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку) при выполнение равенства (2).

Численный с точки зрения задачи Каши означает: требуется построить таблицу значений функции удовлетворяющий уравнение (4.2) и начальное условие (4.3) на отрезкес некоторым шагом. Обычно считается, чтото есть начальное условие задано в левом конце отрезка.

Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы.

Пусть дано уравнение с начальным условиемто есть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точкегде-достаточно малый шаг. Уравнение (4.2) совместно с начальным условием (4.3) задают направление касательной искомой интегральной кривой в точкес координатами

Уравнение касательной имеет вид

Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке :

или

(4.4)

Располагая приближенным решением в точке можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую через эту точку с угловым коэффициентом, и по ней найти приближенное значение решения в точке.

Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна, однако еслидостаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек

.

Получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применение формулы

(4.5)

Рисунок. 4.1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера

Решение ОДУ в некоторой точке x_iназывается устойчивым, если найденное в этой точке значение функции y_iмало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (y_i) – с шагом интегрирования 2h и при уменьшенной (например, двое) величине шага. В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования

где - решение, рассчитанное с шагом 2h,– решение, рассчитанное с

шагом h.