![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лекция № 1.
- •Вопрос 1. Основные сведения о матрицах.
- •Виды матриц
- •Вопрос 2. Операции над матрицами и их свойства.
- •Теорема Лапласа
- •Вопрос 2. Свойства определителей.
- •Лекция № 3
- •Лекция № 4
- •Вопрос 1. Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Методы решения систем линейных уравнений.
- •1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
- •Формулы:
- •Лекция № 5
- •Вопрос 1. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •Алгоритм метода Гаусса:
- •Вопрос 2. Исследование систем линейных уравнений.
- •Лекция № 6
- •Вопрос 1. Системы линейных однородных уравнений.
- •Лекция № 7
- •Вопрос 1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
- •Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (модели межотраслевого баланса)
- •Балансовые соотношения
- •Линейная модель многоотраслевой экономики
- •Лекция № 8
- •Вопрос 1. Векторы (основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Линейные операции над векторами.
- •Свойства:
- •Вопрос 3.
- •Вопрос 4. Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами.
- •Лекция № 9
- •Вопрос 1. Векторное произведение векторов
- •Геометрический смысл.
- •Свойства векторного произведения.
- •Вопрос 2. Выражение векторного произведения через координаты.
- •Вопрос 3. Смешанное произведение векторов
- •Геометрический смысл
- •Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.
- •Вопрос 5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
- •Лекция № 10
- •Вопрос 1. Понятие векторного (линейного) пространства.
- •Вопрос 2. Размерность и базис векторного пространства.
- •Вопрос 3. Линейная оболочка и ее свойства.
- •Свойства линейной оболочки
- •Вопрос 4. Евклидово пространство.
- •Вопрос 5. Ортогональный и ортонормированный базис.
- •Вопрос 6. Переход к новому базису.
- •Лекция № 11
- •Вопрос 1. Линейные операторы.
- •Вопрос 2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).
- •Вопрос 3. Квадратичные формы.
- •Лекция № 12
- •Вопрос 1. Линейная модель обмена (международной торговли).
- •Лекция № 13
- •Вопрос 1. Уравнения прямой (различные виды). Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнение прямой проходящей через две данные точки
- •Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором (нормалью).
- •Общее уравнение прямой.
- •Вопрос 2. Формула угла между прямыми.
- •Вопрос 3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопрос 4. Формула расстояния от точки до прямой.
- •Лекция № 16
Лекция № 7
Вопрос 1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
Продуктивные модели Леонтьева.
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (модели межотраслевого баланса)
Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой — потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. в трудах известного американского экономиста В. В. Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.
Балансовые соотношения
Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период времени; в ряде случаев такой единицей служит год.
Введем следующие обозначения:
‒общий
объем продукции i‒
й отрасли (ее валовой выпуск);
‒объем
продукции i‒
й отрасли, потребляемый j-й
отраслью при производстве объема
продукции
,
‒объем
продукции i‒
й отрасли, предназначенный для реализации
(потребления) в непроизводственной
сфере, или так называемый продукт
конечного потребления. К нему относятся
личное потребление граждан, удовлетворение
общественных потребностей, содержание
государственных институтов и т.д.
Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i‒ й отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид:
(1)
Уравнения (1) называются соотношениями баланса.
Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, будем в дальнейшем иметь в виду стоимостный баланс.
Линейная модель многоотраслевой экономики
В.
В. Леонтьевым на основании анализа
экономики США и период перед второй
мировой войной был установлен важный
факт: в течение длительного времени
величины
меняются
очень слабо и могут рассматриваться
как постоянные числа. Это явление
становится понятным в свете того, что
технология производства остается на
одном и том же уровне довольно длительное
время, и, следовательно, объем потребленияj-й
отраслью продукции i-й
отрасли
при производстве своей продукции объема
есть технологическая константа.
В
силу указанного факта можно сделать
следующее допущение: для производства
продукции j-й
отрасли объема
нужно использовать продукциюi-й
отрасли объема
,
где
‒
постоянное число. При таком допущении
технология производства принимаетсялинейной,
а само это допущение называется гипотезой
линейности.
При этом числа
называютсякоэффициентами
прямых затрат.
Согласно гипотезе линейности, имеем:
(2)
Тогда уравнения (1) можно переписать в виде системы уравнений:
(3)
Введем в рассмотрение векторы ‒ столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:
,
,(4)
Тогда система уравнений (3) в матричной форме имеет вид:
. (5)
Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (4) это уравнение носит название модели Леонтьева.
Уравнение
межотраслевого баланса можно использовать
в двух целях. В первом, наиболее простом
случае, когда известен вектор валового
выпуска
,
требуется рассчитать вектор конечного
потребления
‒ подобная задача была рассмотрена
выше.
Во
втором случае уравнение межотраслевого
баланса используется для целей
планирования со следующей формулировкой
задачи: для периода времени T
(например, год) известен вектор конечного
потребления у
и требуется определить векторвалового выпуска. Здесь необходимо
решать систему линейных уравнений (5) с
известной матрицейA
и заданным вектором
.
В дальнейшем мы будем иметь дело именно
с такой задачей.
Между
тем система (5) имеет ряд особенностей,
вытекающих из прикладного характера
данной задачи; прежде всего все элементы
матрицы A
и векторов
и
должны быть неотрицательными.
Пример: Таблица 1 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30 условных денежных единиц.
Таблица 1
№ п/п |
Отрасль |
Потребление |
Конечный продукт |
Валовой выпуск | |||
1 |
2 |
3 | |||||
1 |
Добыча и переработка углеводородов |
5 |
35 |
20 |
40 |
100 | |
2 |
Энергетика |
10 |
10 |
20 |
60 |
100 | |
3 |
Машиностроение |
20 |
10 |
10 |
10 |
50 |
Решение: Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (2) и (3), имеем
Матрица A удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид
(6)
Требуется
найти новый вектор валового выпуска
*,
удовлетворяющий соотношениям баланса
в предположении, что матрица A
не изменяется. В таком случае компоненты
x1,
x2,
х3
неизвестного вектора
*
находятся из системы уравнений, которая
согласно (3) имеет в данном случае вид
В матричной форме эта система выглядит следующим образом:
(7)
или
(8)
где матрица (Е ‒ A) имеет вид
Решение
системы линейных уравнений (8) при
заданном векторе правой части (6)
(например, методом Гаусса) дает новый
вектор
*
как решение системы уравнений баланса
(7):
Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на 52,2%, уровень энергетики ‒ на 35,8% и выпуск продукции машиностроения ‒ на 85% по сравнению с исходными величинами, указанными в табл. 1.