![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лекция № 1.
- •Вопрос 1. Основные сведения о матрицах.
- •Виды матриц
- •Вопрос 2. Операции над матрицами и их свойства.
- •Теорема Лапласа
- •Вопрос 2. Свойства определителей.
- •Лекция № 3
- •Лекция № 4
- •Вопрос 1. Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Методы решения систем линейных уравнений.
- •1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
- •Формулы:
- •Лекция № 5
- •Вопрос 1. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •Алгоритм метода Гаусса:
- •Вопрос 2. Исследование систем линейных уравнений.
- •Лекция № 6
- •Вопрос 1. Системы линейных однородных уравнений.
- •Лекция № 7
- •Вопрос 1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
- •Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (модели межотраслевого баланса)
- •Балансовые соотношения
- •Линейная модель многоотраслевой экономики
- •Лекция № 8
- •Вопрос 1. Векторы (основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Линейные операции над векторами.
- •Свойства:
- •Вопрос 3.
- •Вопрос 4. Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами.
- •Лекция № 9
- •Вопрос 1. Векторное произведение векторов
- •Геометрический смысл.
- •Свойства векторного произведения.
- •Вопрос 2. Выражение векторного произведения через координаты.
- •Вопрос 3. Смешанное произведение векторов
- •Геометрический смысл
- •Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.
- •Вопрос 5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
- •Лекция № 10
- •Вопрос 1. Понятие векторного (линейного) пространства.
- •Вопрос 2. Размерность и базис векторного пространства.
- •Вопрос 3. Линейная оболочка и ее свойства.
- •Свойства линейной оболочки
- •Вопрос 4. Евклидово пространство.
- •Вопрос 5. Ортогональный и ортонормированный базис.
- •Вопрос 6. Переход к новому базису.
- •Лекция № 11
- •Вопрос 1. Линейные операторы.
- •Вопрос 2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).
- •Вопрос 3. Квадратичные формы.
- •Лекция № 12
- •Вопрос 1. Линейная модель обмена (международной торговли).
- •Лекция № 13
- •Вопрос 1. Уравнения прямой (различные виды). Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнение прямой проходящей через две данные точки
- •Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором (нормалью).
- •Общее уравнение прямой.
- •Вопрос 2. Формула угла между прямыми.
- •Вопрос 3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопрос 4. Формула расстояния от точки до прямой.
- •Лекция № 16
Лекция № 16
Вопрос 1. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа.
Задача
решения уравнений вида
,
послужила одним из поводов для расширения
понятия числа.
Рассмотрим уравнение:
,
Обозначим
– мнимая единица
,
тогда
Добавив ко всем действительным числам числа мнимые, получим множество комплексных чисел K.
Определение.
Числа
вида
(где
–действительная
часть;
–мнимая
часть;
– мнимая единица), называютсякомплексными.
Запись
называется алгебраической формой
комплексного числа.
Геометрическое изображение
Ось OX – действительная ось
Ось OY – мнимая ось
Комплексная плоскость
RealZ = a– действительная часть
ImaginaryZ = b– мнимая часть
Вопрос 2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
1) Сумма (разность) комплексных чисел
;
2) Произведение комплексных чисел
(учли,
что
)
3) Деление комплексных чисел
Для того чтобы выполнить деление комплексных чисел, надо числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю:
Следовательно,
Пример.
ЛЕКЦИЯ № 17
Вопрос 1. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
–модуль
комплексного числа
,
следовательно
– тригонометрическая форма комплексного числа.
Пример:
;
a = 1;
b = – 1;
φϵIVчетверти.
Тогда
.
Вопрос 2. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Пусть даны два комплексных числа:
Тогда получим:
.
Примеры:
а) Пусть
z₁ = 3 ∙ (cos 20° + isin 20°);
z₂ = 2 ∙ (cos 35° + i sin 35°),
тогда
z₁· z₂ = 6 ∙ (cos 55° + i sin 55°).
б) Перемножить три комплексных числа:
2∙(cos 150° + i sin 150°), 3∙[cos (‒160°) + i sin (‒160°)] и 0,5∙(cos 10° + i sin 10°).
Решение: Модуль произведения 2 · 3 · 0,5 = 3.
Аргумент произведения 150° ‒ 160° + 10° = 0°.
Произведение равно 3 ∙ (cos 0° + i sin 0°).
Вопрос 3. Показательная форма записи комплексных чисел.
Воспользуемся тождеством Эйлера:
,
(
)
Умножим
обе части этого равенства на:
.
Следовательно,
– показательная форма комплексного числа.
Вопрос 4. Действия над комплексными числами в показательной форме.
Пусть даны два комплексных числа:
;
Тогда получим:
.
Пример:Найти:
,
при k=
0; 1.
.
φϵIIчетверти.
Тогда
,
При k= 0:
При k= 1: