Лекция № 4
Вопрос 1. Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
1. Системой m линейных уравнений с nнеизвестными называется система уравнений вида:
2. Решением системы уравнений (1) называется совокупность чисел x1, x2, … , xn, обращающая каждое уравнение системы в тождество.
3. Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной.
4. Система уравнений (1) называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если у нее более одного решения.
5. В результате элементарных преобразований система (1) преобразуется к равносильной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений).
К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относятся:
1. Отбрасывание нулевых строк.
2. Изменение порядка строк.
3. Прибавление к элементам любой строки элементов другой строки, умноженных на одно число.
Вопрос 2. Методы решения систем линейных уравнений.
1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Системой n линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
Запишем систему (2) в матричном виде, для этого введем обозначения.
Матрица коэффициентов перед переменными:
X
=
‒ матрица переменных.
В
=
‒ матрица свободных членов.
Тогда система (2) примет вид:
A×X = B ‒ матричное уравнение.
Решив уравнение, получим:
X = A-1×B
Пример:
;
;
1)
│А│=
15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4
0
матрицаА-1
существует.
2)
AT=
;
3)
Ã
=
4)
А-1
=
× Ã =
;
Х
= А-1
×
B
Ответ:
2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
Рассмотрим систему 2 ‒ х линейных уравнений с 2 ‒ мя неизвестными:
Решим эту систему методом подстановки:
Из первого уравнения следует:
Подставив во второе уравнение, получим:
Подставляем
значение
в
формулу для
,
получим:
=
Определитель Δ — определитель матрицы системы;
Δ x1 — определитель переменной x1;
Δ x2 — определитель переменной x2;
Формулы:
x
1
=
;x
2
=
;…,xn
=
;Δ
0;
‒ называются формулами Крамера.
При нахождении определителей неизвестных х1, х2,…, хnзаменяется столбец коэффициентов при той переменной, определитель которой находят, на столбец свободных членов.
Пример: Решить систему уравнений методом Крамера
Решение:
Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы:
Так как Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:
где Δ 1, Δ 2, Δ 3 получаются из определителя Δ путем замены 1‒ го, 2 ‒ го или 3 ‒ го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.
Таким образом:
Лекция № 5
Вопрос 1. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Рассмотрим систему:
Расширенной матрицей системы (1) называется матрица вида:
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы, начиная со второго уравнения по m – тое уравнение.
При этом путем элементарных преобразований матрица системы приводится к треугольной (если m = n и определитель системы ≠ 0) или ступенчатой (если m < n) форме.
Затем, начиная с последнего по номеру уравнения, находятся все неизвестные.