Алгоритм метода Гаусса:

1) Составить расширенную матрицу системы, включающую столбец свободных членов.

2) Если а₁₁  0, то первую строку делим на а₁₁ и умножаем на (– a₂₁) и прибавляем вторую строку. Аналогично дойти до m–той строки:

I стр. делим на а₁₁ и умножаем на (– а_m1) и прибавляем m – тую стр.

При этом из уравнений, начиная со второго по m – тое, исключится переменная x₁.

3) На 3 ‒ м шаге вторая строка используется для аналогичных элементарных преобразований строк с 3 ‒ й по m – тую. При этом исключится переменная x_{2 ,} начиная с 3 ‒ й строки по m – тую, и т. д.

В результате этих преобразований система приведется к треугольной или ступенчатой форме (в случае треугольной формы под главной диагональю нули).

Приведение системы к треугольной или ступенчатой форме называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из полученной системы называется обратным ходом.

Пример:

Прямой ход. Приведём расширенную матрицу системы

с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Переставим первую и вторую строки матрицыA_b, получим матрицу:

Сложим вторую строку полученной матрицы с первой, умноженной на (‒2), а её третью строку – с первой строкой, умноженной на (‒7). Получим матрицу

К третьей строке полученной матрицы прибавим вторую строку, умноженную на (‒3), в результате чего получим ступенчатую матрицу

Таким образом, мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду:

,

Обратный ход. Начиная с последнего уравнения полученной ступенчатой системы уравнений, последовательно найдём значения неизвестных:

Вопрос 2. Исследование систем линейных уравнений.

Теорема Кронекера - Капелли, базисные решения.

Теорема 1. Система m – линейных уравнений с n – неизвестными совместна только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

r (A) = r (A_в)

Пример:

│А│= = 58 0, r (А) = 3;

A_B= =r (A_B) ≤ 3, так как

= ‒ 8 + 45 + 144 ‒ 40 + 72 ‒ 18 = 195 =r (A_B) = 3 =

r(A) = r (A_B) => по теореме Кронекера ‒ Капелли система совместна.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, т. е. r(A) = n, то система имеет единственное решение.

Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. r (A) <n, то переменные х₁, х₂, …, х_rназываются базисными, если минор, составленный из коэффициентов при этих неизвестных  0.

Остальные (n – r) – неизвестных называются свободными.

Пример: найти базисное решение системы уравнений.

Решение:

х₁, х₂, х₃ – базисные, х₄ – свободное.

Пусть х₄= C = const; х₃= 2, тогда

2 х₂+ 2 + 2 C= 0 | · 2

х₂= – C – 1

х₁ – C – 1 + 2 + C= 2;

х₁= 1

Ответ:

х₁= 1;

х₂= – C – 1;

х₃ = 2;

х₄= C.

Найдем частное решение:

Пусть C = 1, тогда

х₁= 1;

х₂= – 2;

х₃ = 2;

х₄= 1.

Проверка:

Подставим значения х₁, х₂, х₃, и х₄ в систему уравнений

,

Получим

Лекция № 6

Вопрос 1. Системы линейных однородных уравнений.

Исследование решений. Фундаментальная система решений.

Однородной системы m – линейных уравнений с n – неизвестными называется система уравнений вида:

Теорема. Система (3) всегда имеет хотя бы одно тривиальное решение: х₁= х₂ = … = х_n= 0.

При решении однороднойсистемылинейных уравнений возможны следующие случаи:

1) Если m = n и определитель матрицы системы ∆  0, то ∆ x₁ = ∆ x₂ = = … = ∆ x_n= 0. Тогда система (3) имеет единственное тривиальное решение по формулам Крамера.

2) Если m = n, но определитель матрицы системы ∆ = 0, то система (3) имеет множество решений.

3) Если m<n, то система (3) имеет множество решений.

Определение. Система линейно независимых решений e_l, е₂, ..., е_k называется фундаментальной, если каждое решение системы (3) является линейной комбинацией решений e_l, е₂ , ..., е_k.

Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (3) меньше числа пере­менных n, то всякая фундаментальная система решений систе­мы (3) состоит из n – r решений.

Пример:

m = 3; n = 4.

х₁, х₂, х₃ – базисные, x₄ – свободное.

Пустьх₄= C, тогда

х₃ = х₄=>х₃= C

х₂– 7C– 14C= 0

х₂= 21C

х₁– 21C + 2C + 5C = 0

х₁= 14C

Ответ:

х₁= 14C;

х₂= 21C;

х₃= C;

х₄= C.