![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лекция № 1.
- •Вопрос 1. Основные сведения о матрицах.
- •Виды матриц
- •Вопрос 2. Операции над матрицами и их свойства.
- •Теорема Лапласа
- •Вопрос 2. Свойства определителей.
- •Лекция № 3
- •Лекция № 4
- •Вопрос 1. Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Методы решения систем линейных уравнений.
- •1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
- •Формулы:
- •Лекция № 5
- •Вопрос 1. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •Алгоритм метода Гаусса:
- •Вопрос 2. Исследование систем линейных уравнений.
- •Лекция № 6
- •Вопрос 1. Системы линейных однородных уравнений.
- •Лекция № 7
- •Вопрос 1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
- •Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (модели межотраслевого баланса)
- •Балансовые соотношения
- •Линейная модель многоотраслевой экономики
- •Лекция № 8
- •Вопрос 1. Векторы (основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Линейные операции над векторами.
- •Свойства:
- •Вопрос 3.
- •Вопрос 4. Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами.
- •Лекция № 9
- •Вопрос 1. Векторное произведение векторов
- •Геометрический смысл.
- •Свойства векторного произведения.
- •Вопрос 2. Выражение векторного произведения через координаты.
- •Вопрос 3. Смешанное произведение векторов
- •Геометрический смысл
- •Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.
- •Вопрос 5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
- •Лекция № 10
- •Вопрос 1. Понятие векторного (линейного) пространства.
- •Вопрос 2. Размерность и базис векторного пространства.
- •Вопрос 3. Линейная оболочка и ее свойства.
- •Свойства линейной оболочки
- •Вопрос 4. Евклидово пространство.
- •Вопрос 5. Ортогональный и ортонормированный базис.
- •Вопрос 6. Переход к новому базису.
- •Лекция № 11
- •Вопрос 1. Линейные операторы.
- •Вопрос 2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).
- •Вопрос 3. Квадратичные формы.
- •Лекция № 12
- •Вопрос 1. Линейная модель обмена (международной торговли).
- •Лекция № 13
- •Вопрос 1. Уравнения прямой (различные виды). Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнение прямой проходящей через две данные точки
- •Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором (нормалью).
- •Общее уравнение прямой.
- •Вопрос 2. Формула угла между прямыми.
- •Вопрос 3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопрос 4. Формула расстояния от точки до прямой.
- •Лекция № 16
Вопрос 2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).
Вектор
называется собственным
вектором
линейного оператора
(матрицы
),
если выполняется равенство:
(
)
=
(1)
Следовательно,
,
(т. е.
отображается на коллинеарный вектор
).
Число называется собственным значением линейного оператора.
Запишем равенство (1) в матричном виде:
A·X
= ·X;A·X
‒·X
= 0,
т. е.
(A ‒ · E) · X = 0 (2)
– характеристическое уравнение.
Запишем матричное уравнение (2) в виде однородной системы линейных уравнений:
Эта система имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю, т.е.
│A
–·E
│= 0 или
= 0 (3)
Левая часть уравнения (3) является многочленом n‒ степени относительно .
Количество корней уравнения (3) равняется количеству собственных значений оператора A, а, значит, и количеству собственных векторов этого оператора.
Пример:
Найти: собственные значения и собственные векторы этого оператора.
Решение:
Составим характеристический многочлен.
│A – ·E │=
=
.
– собственные
значения оператора A.
1)
при
;
;
.
Пусть
,
тогда
– первый собственный вектор оператора
A.
2)
при
;
;
.
Пусть
,
тогда
Вопрос 3. Квадратичные формы.
Пусть
L
= ()
‒ симметричная матрицаn‒
го порядка, т.е.
=
.
Определение. Выражение
называется квадратичной формой переменных x1, x2, …, xn.
Выражение (1) есть сумма всех квадратов переменных плюс сумма всех удвоенных произведений разных переменных, причем каждый член суммы взят с некоторым коэффициентом. Матрица L называется матрицей квадратичной формы.
Построим квадратичную форму. Введем матрицу ‒ столбец переменных
матрицу ‒ строку этих переменных Xm = (x1, x2, …, xn) и найдем произведение матриц:
После перемножения получим
Следовательно, в матричной форме квадратичная форма может быть представлена в виде
=
XT
·L
·X
.
Матрице
‒ столбцу переменных можно поставить
в соответствие вектор х,
координатами которого в ортобазисе e1,
е2,
…, еn,
будут элементы матрицы ‒ столбца. Тогда
выражение (1) можно интерпретировать
как числовую функцию векторного аргумента
х:
(х).
Пример: Найти матрицу квадратичной формы
(x)=
‒
+6
‒ 3
+4
+
‒3
Решение: Общий вид заданной квадратичной формы
(x)=
+
+
+
+
+
Поэтому
=
.
Пусть
оператор
переводит вектор
в вектор
.
Поскольку действие линейного оператора
на вектор
сводится к умножению некоторой матрицыP
= (
)
на матрицу ‒ столбецY,
составленную из координат вектора
,
запишем линейное преобразование в
матричном виде:
Х = P· Y.
Выясним, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов х → у:
(x)
=
где
=
.
Пусть
дополнительно выполняется условие
невырожденности матрицы оператора | Р|
0 и квадратичная форма является числовой
функцией вектора
:
(y)
=
.
Найдем, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов у → х. Решим матричное уравнение
Х = P · Y,
умножив
обе части равенства слева на
.
Тогда
(y)
=
=
где
.
Пример: Как изменится матрица квадратичной формы
(x)
= ‒
+ 2
+ 3
при линейном преобразовании векторов
.
Решение:Матрица заданной квадратичной формы равна
матрица
линейного оператора
при линейном преобразовании векторовх
=
(у)
имеет вид
.
Под
действием линейного оператора матрица
квадратичной формы станет равной
,
а квадратичная форма примет более простой вид:
(y)
=
.