20. Метод обратной функции и его использование для гененрирования непрерывных случайных величин

Предположим, нам необходимо генерировать случайную величину Х, являющуюся непрерывной и имеющую функцию распределения F – непрерывную строго возрастающую, когда 0 < F(x) < 1, из этого следует, что если x₁ < x₂ и 0 < F(x₁) < F(x₂) < 1, то F(x₁) < F(x­₂).

Примем, что F^-1 – это обратная функция F. Две функции y = f(x) и y = phi(x) называются взаимно обратными, если для каждой пары значений a,b, удовлетворяющих условию b = f(a), удовлетворяется также условие a = phi(b), а для каждой пары , удовлетворяющих условию a = phi(b), удовлетворяется также условие b = f(a).

Одна из двух взаимно обратных функций может быть названа прямой (безразлично какая), тогда другая функция называется обратной.

Пример: y = x² и y = +-sqrt(x)

y = e^x и y = ln x

На первом шаге строится интегральная функция распределения F(x).

Т.к. F(x) изменяется в интервале от 0 до 1, полагают F(x) = R,

где R – случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0,1).

Тогда: x = F^-1(R)

где x – случайная величина с функцией плотности распределения f(x),

F^-1‑ - функция, обратная по отношению к F.

21. Метод обратной функции и его использование для гененрирования дискретных случайных величин

Для дискретной величины X является функция распределения F(X) = P(X<=x) = ∑p(x_i) (если x_i<=x)

где p_i(x) является вероятностной мерой p(x_i) = P(X = x_i)

Допускается, что величина X может иметь только значения x₁,x₂,… для которых x₁<x₂<…

Тогда алгоритм будет иметь следующий вид:

1. Генерируем U ~ U(0,1)

2. Определяем положительное наименьшее число I, для которого U <= F(x_I) и возвращаем X = x_I .

22. Выходные данные и стохастические процессы моделирования

В большинстве имитационных моделей в качестве входных данных используются случайные величины, поэтому выходные данные моделирования также носят случайный характер.

Имитационная модель воспроизводит динамику функционирования системы, поэтому в результате моделирования мы получаем наблюдение за изменением случайных величин в течение некоторого периода моделирования, т.е. наблюдается некоторый стохастический процесс.

Стохастическим (случайным) процессом X(t) называется процесс, значение которого при любом значений аргумента t является случайной величиной.

При фиксированном t = t₀, X(t₀) представляет собой обычную случайную величину, т.е сечение случайного процесса в момент времени t₀.

Реализация случайного процесса – это конкретный вид, принимаемый случайным процессом X(t), его траектория.

Если совокупность величин представлена как X₁,X­₂,…, то речь идет о дискретном стохастическим процессе, если же как {X(t), t>0}, то о непрерывном.

Случайный процесс X(t) при данном t определяется плотностью вероятности Fi(x,t).

Эта плотность не является исчерпывающим описанием процесса X(t), поскольку она не выражает зависимости между его сечениями в разные моменты времени.

Случайный процесс X(t) представляет собой совокупность всех сечений при всевозможных значениях t. Поэтому для его описания необходимо рассматривать многомерную случайную величину (X(t₁),X(t₂),…,X(t_n))