33. Поверхности отклика и метамодели. Методы поиска оптимума

Имитационную модель можно рассматривать как механизм преобразования входных параметров в выходные показатели работы. Особый интерес представляет построение некоторой функциональной зависимости между параметрами и характеристиками системы (откликом). Такая зависимость является приближенной алгебраической моделью, построенной на основе данных моделирования, т.е. получается метамодель.

При проведении эксперимента используется кибернетическая модель черного ящика, в которой Y – множество выходных переменных (реакций) , а X – множество входных переменных (факторов)

Функция Y = fi(X) Y = fi(X) называется функцией реакции.

Наиболее часто метамодель определяется как стандартная регрессионная модель, в которой независимые переменные регрессии являются входными параметрами модели, а зависимая переменная – искомым откликом. При наличии нескольких откликов можно разработать несколько регрессионных моделей.

На первом этапе построения регрессионной модели нужно выполнить ее спецификацию, т.е. определить вид зависимости между откликом и факторами.

Далее, на основе метода наименьших квадратов, можно рассчитать коэффициенты уравнения регрессии.

После получения модели ее необходимо исследовать на адекватность. Одним из методов проверки адекватности регрессионной модели является анализ случайной компоненты e_i = y_i – y_i^ - разность между фактическим значением отклика и значением, рассчитанным по уравнению регрессии.

Случайная компонента должна быть нормально распределенной случайной величиной с нулевым мат. ожиданием.

Линейное уравнение парной регрессии может быть представлено в виде:

y^ = a + bx + ε

где a и b – неизвестные параметры коэффициента регрессии

ε – случайная переменная, которая характеризует отклонение от теоретически предполагаемой регрессии.

Уравнение регрессии с оцененными параметрами имеет вид:

y^ = a + bx

В качестве нахождения коэффициентов уравнения регрессии a и b используется метод наименьших квадратов, который позволяет найти, такие коэффициенты , что сумма квадратов отклонений фактических значений от расчетных будет минимальной.

e_i = y_i – y_i^ = y_i – (a+bx_i)

Критерий имеет вид:

Q = ∑e_i²  min

Для нахождения a и b, дающих минимум данной функции, необходимо найти частные производные Q` по a и b и приравнять их к нулю.

Аналогичным образом можно построить коэффициенты уравнения множественной линейной регрессии.

y_i = a₀ + a₁x_i1 + a₂x_i2 + …. + e_i­

или Y = XA+E

Тогда в матричном виде:

A = (X^TX)^-1*X^Ty

Наиболее часто используются полиномиальные регрессионные модели.

Неполная квадратичная модель для m = 3 (число факторов) имеет следующий вид:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₁₂x₁x₂ + b₂₃x₂x₃ + b₁₃x₁x₃ + b₁₂₃x₁x₂x₃ + ε

где ε – ошибка опыта, предполагаемая независимой нормально распределенной случайной величиной со средним, равным нулю и постоянной дисперсией.

При проведении экспериментов для исследования систем необходимо:

1) отобрать факторы x_i , влияющие на изучаемый отклик и сделать предположение о виде функциональной зависимости между факторами и откликом.

2) установить диапазон изменения каждого фактора и определить координаты точек факторного пространства (т.е. уровни фактора)

3) оценить необходимое число реализаций и порядок их проведения, построить план эксперимента.

4) выполнить n-прогонов для каждой точки плана.

5) для каждой точки плана получить оценку отклика.

6) по полученным оценкам построить уравнение регрессии (как правило, линейное уравнение множественной регрессии).