Вопрос 39 Гармонические волны. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость.

Волны, образованные внешним воздействием, приложенным к упругой среде, называются бегущими волнами: они “бегут” от создающего их источника. Если внешняя сила совершает гармонические колебания, то вызванные ею волны называются гармоническими бегущими волнами.

Фазовая скорость волны.

Фазовая скорость  - это скорость распространения данной фазы колебаний, т.е. скорость волны.

Связь длины волны , фазовой скорости  и периода колебаний Т задается соотношением:

.

Учитывая, что , где  - линейная частота волны,  - период, а циклическая частота волны , получим разные формулы для фазовой скорости:

.

Для волнового процесса характерна периодичность по времени и по пространству.

Т – период колебаний точек среды. Роль пространственного периода играет длина волны . Соотношение между периодом и циклической частотой задается формулой: . Аналогичное соотношение можно записать для длины волны и величиной k, называемой волновым числом: .

еще одно уравнение для фазовой скорости:

.

Фазовая скорость различна для разных сред. В случае упругих поперечных волн (в твердом теле) фазовая скорость равна:

 ,

где - модуль сдвига среды,  -ее плотность в невозбужденном состоянии (т.е. когда в этой среде не распространяется упругая волна).

Фазовая скорость упругих продольных волн в твердом теле равна

,

где Е - модуль Юнга, - плотность невозмущенной среды (твердого тела до момента распространения по нему волны).

Фазовая скорость продольных волн в жидкости и газе определяется соотношением:

,

где К – модуль объемной упругости среды – величина, характеризующая способность среды сопротивляться изменению ее объема, - плотность невозмущенной среды.

Фазовая скорость продольных волн в идеальном газе задается формулой:

,

 - показатель адиабаты, - молярная масса, Т – абсолютная температура, R – универсальная газовая постоянная. Фазовая скорость в газе зависит от сорта газа () и от его термодинамического состояния (Т).

Уравнение бегущей волны. уравнение бегущей волны в одномерном пространстве, которое предполагаем изотропным и однородным. Кроме того, силы сопротивления в среде считаем пренебрежимо малыми (т.е. нет затухания колебаний). Пусть точка О - центр (источник) колебаний, она колеблется по закону:

,

где  - смещение точки О от положения равновесия, - частота, А – амплитуда колебаний. Часы или секундомер №1 включаются сразу, как только начинаются колебаний точки О, и отсчитывают время t (Рисунок 2.1.1). Ось ОУ совпадает с направлением распространения волны.

Через промежуток времени  процесс колебаний дойдет до точки В, и она будет колебаться по закону:

.

Амплитуда колебаний в случае отсутствия затухания процесса будет такой же как и амплитуда точки О. Часы или секундомер №2 включаются тогда, когда колебательный процесс дойдет до точки В (т.е. когда начинает колебаться точка В), и отсчитывают время . Моменты времени t и  связаны между собой соотношением  или . Расстояние между точками О и В обозначим . Фазовая скорость волны равна , тогда . Учитывая соотношения для  и  и формулы  и , можно записать уравнение колебаний точки В в разных видах:

.

Аналогично уравнению колебаний точки В запишем уравнение колебаний любой точки среды, расположенной на расстоянии y от источника колебаний:

,

где  - волновое число (см. определение выше).

Это уравнение и есть уравнение для смещения  любой точки пространства в любой момент времени, т.е. уравнение бегущей волны, где А – амплитуда, величина  - фаза волны, которая в

Билет 40

СЛОЖЕНИЕ ВОЛН

Сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуды результирующих колебаний в различных точках пространства, называется интерференцией.

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

Частным случаем интерференции являются стоячие волны - волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу волн с одинаковыми амплитудами и частотами.

Для вывода уравнения стоячей волны примем: 1) волны распространяются в среде без затухания; 2) А₁ = А₂ =А - имеют равные амплитуды; 3) ω₁ = ω₂= ω - равные частоты; 4)φ₁₀ = φ₂₀ = 0.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х (т.е. уравнение падающей волны):

(1)

Уравнение бегущей волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х (т.е. уравнение отраженной волны):

(2)

Сложив (1) и (2) получим уравнение стоячей волны:

Особенностью  стоячей волны является то, что амплитуда зависит от координаты х. При перемещении от одной точки к другой амплитуда меняется по закону:

ДИСПЕРСИЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ ВОЛНЫ

Дисперсия волн - ,зависимость фазовой скорости гармонических волн в среде от частоты их колебаний. Дисперсия волн наблюдается для волн любой природы. Наличие дисперсии волн приводит к искажению формы сигнала (напр., звукового импульса) при распространении в среде. 

Групповая скорость - ,величина, приближенно характеризующая распространение негармонической волны (она является суперпозицией группы гармонических волн). Если форма волны изменяется в результате дисперсии волн в среде не очень быстро, то можно рассматривать распространение негармонической волны как целого с групповой скоростью, отличной от фазовых скоростей ее гармонических составляющих. Групповая скорость характеризует скорость переноса энергии волной. 

Билет 41

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

Интерференция - явление, имеющее место при наложении (суперпозиции) когерентных волн и состоящее в увеличении амплитуды результирующих колебаний в одних точках пространства при одновременном ослаблении колебаний в других точках. Таким образом, при интерференции происходит пространственное перераспределение энергии накладывающихся волн.

Интерференция света - частный случай общего явления интерференции волн. При интерференции света возникает интерференционная картина - чередование областей с повышенной и пониженной освещенностью, например, кольца Ньютона, наблюдаемые в данной работе. Устойчивая интерференция возможна лишь в случае, когда в любой точке области наложения волн их разность фаз постоянна во времени (волны взаимно когерентны).

РАСЧЁТ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ КАРТИНЫ ОТ ДВУХ КОГЕРЕНТНЫХ ИСТОЧНИКОВ

Пусть в некоторую точку пространства M приходят световые волны от двух взаимно когерентных источников и (рисунок 1), или, что равноценно, от одного источника, но прошедшие до места встречи разные пути. Через и обозначим оптические пути, пройденные волнами от источников до точки : , где - расстояния, пройденные волнами, - показатели преломления сред, через которые шли волны.

Рисунок 1 - Ход лучей при интерференции.

В точке M каждая из этих волн вызывает колебания напряженности электрического поля, описывающиеся уравнениями:

, , (1)

где - мгновенные значения напряженностей электрических полей обеих волн, - амплитуды напряженностей, - циклическая частота, - время, - волновое число, - длина световой волны в вакууме, - начальные фазы волн (для упрощения далее полагаем, что ).

Амплитуда результирующего колебания в точке такова:

, (2)

где - разность фаз волн в точке M; - оптическая разность хода волн.

Из формулы (2) следует, что волны усилят друг друга, и в точке возникнет интерференционный максимум освещенности, если , то есть , где , или , следовательно:

. (3)

Последнее равенство есть условие интерференционного максимума: две волны при наложении усилят друг друга, если их оптическая разность хода равна нулю или на ней укладывается целое число длин волн . В этом случае , а если , то .

Из (2) также следует, что взаимное ослабление волн и образование в точке интерференционного минимума имеет место, если , то есть , где . При этом , то есть:

. (4)

Последнее равенство есть условие интерференционного минимума: две волны при наложении ослабят друг друга, если на оптической разности хода укладывается нечетное число длин полуволн . В этом случае , а при происходит полное гашение: .

БИЛЕТ 42

ПОЛОСЫ РАВНОЙ ТОЛЩИНЫ И РАВНОГО НАКЛОНА

Различают интерференционные картины двух типов: полосы равного наклона, когда на плоскопараллельный слой падает расходящийся пучок лучей, и полосы равной толщины, когда пучок параллельных лучей падает на слой с непараллельными поверхностями (клин).

Частным случаем полос равной толщины являются кольца Ньютона. Для их наблюдения плосковыпуклую линзу с большим радиусом кривизны помещают на гладкую стеклянную пластину (см. рисунок 2). Между линзой и пластиной вокруг точки их соприкосновения имеется тонкий воздушный клин. На линзу направляют пучок параллельных лучей. В отраженном свете полосы равной толщины возникают в результате интерференции луча 1, отраженного в точке от нижней поверхности линзы, и луча 2, отраженного в точке от верхней поверхности пластинки, то есть от поверхностей воздушного клина. Ввиду малости кривизны линзы лучи 1 и 2 фактически совпадают и накладываются на падающий луч (на рисунке 2 углы отражения лучей 1 и 2 преувеличены для наглядности). Толщина воздушного зазора определяется расстоянием до точки касания, поэтому полосы равной толщины имеют вид концентрических колец.

Рисунок 2 - Ход лучей при наблюдении колец Ньютона.

Как видно из рисунка 2, оптическая разность хода лучей 1 и 2 такова:

, (5)

( добавляется вследствие потери полуволны при отражении света от оптически более плотной среды в точке B). Поскольку клин воздушный, то . Выведем формулу, связывающую радиус темного кольца номер , радиус кривизны линзы и длину световой волны . Соединим центр кривизны линзы C с точками A и O. Для прямоугольного треугольника ACD имеем:

.

Пренебрежем величиной ввиду ее малости () и получим , откуда . Подставляя это выражение для в формулу (5), получаем:

. (6)

Темные кольца проходят там, где величина удовлетворяет условию минимума (4). Приравняем правые части равенств (4) и (6):

.

и получим из последнего равенства формулу для радиусов темных колец в отраженном свете:

. (7)

БИЛЕТ 43

принцип Гюйгенса-Френеля

В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждая щель дифракционной решетки становится источником вторичных волн. Следовательно, решетку можно представить как набор когерентных источников, расположенных в щелях решетки и испускающих световые лучи, отклоняющиеся вправо и влево от первоначального направления на различные углы в пределах от 0 до 90°.

В фокальной плоскости линзы, помещенной за решеткой, наблюдается дифракционная картина, обусловленная двумя факторами: дифракцией света от каждой щели и многолучевой интерференцией света от всех щелей.

Рисунок 1 - Ход лучей в дифракционной решетке. 1 – дифракционная решетка, 2 – собирающая линза, 3 – экран.

максимумы будут наблюдаться под углами , определяемыми следующим условием (формулой дифракционной решетки):

(1)

где - номер максимума или порядок спектра.

Формула для нахождения длин световых волн

.

ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ

 Весь фронт волны  разбивается на бесконечное количество узких колечек. Сумма изображается на графике –в пределе  получается спираль (рис.4).

 

  

        Действие отверстия в точке наблюдения, находящейся на оси картины,  зависит от того, сколько зон Френеля укладывается в отверстии. Если число зон нечетное – действие больше, чем без экрана. Больше всего – если открыта одна зона. Если открыта только первая зона, то, как видно из рисунка, амплитуда примерно в два раза больше, чем если бы был открыт весь фронт, а интенсивность – в четыре раза больше. Если открыто четное число зон – меньше, чем без экрана. Меньше всего – если открыты 2 зоны. Это все хорошо видно из графического рассмотрения (рис.4). Амплитуда определяется как длина вектора  ON с началом в точке О, а конец – там, где кончается последняя открытая зона. Вокруг центральной точки будут темные и светлые кольца – это ясно из осевой симметрии картинки.

БИЛЕТ 44

ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРРА НА ЩЕЛИ И ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКЕ

Дифракция Фраунгофера — случай дифракции, при котором дифракционная картина наблюдается на значительном расстоянии от отверстия или преграды. 

Оптическая разность хода волн, идущих от краев щели в произвольном направлении , равна

 

.                                       (1.9)

 

После прохождения через линзу Л они собираются на экране в точке Р и интерферируют. Для выяснения вида интерференционной картины разобьем открытую поверхность волнового фронта АВ на зоны Френеля (разность хода от краев соседних зон равна ), параллельные краям щели. Всего на ширине  щели уместится

 

  зон.                               (1.10)

Так как на щель падает плоская волна, то площади всех зон одинаковы,  значит, одинакова амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке Р действием каждой зоны Френеля, а фазы колебаний, создаваемых соседними зонами, противоположны. Следовательно, колебания каждой пары соседних зон будут гасить друг друга.

Поэтому, если на ширине щели укладывается четное число зон Френеля, то амплитуда результирующего колебания в точке Р равна 0 и наблюдается минимум интенсивности света.

Из (1.10) следует условие образования дифракционного минимума:

 

(k=1,2,…)                      (1.11)

 

Дифракционный максимум возникает при нечетном числе зон Френеля, укладывающихся на ширине щели

 

(k=1,2,…),                       (1.12)

Одномерная дифракционная решетка – это система параллельных щелей равной ширины а, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками b. Величина

 

(1.15)

 

называется постоянной (периодом) дифракционной решетки.

При падении на решетку плоской монохроматической волны в фокальной плоскости линзы наблюдается дифракционная картина.

Она является результатом двух процессов: дифракции света от каждой щели и интерференции пучков света, дифрагированных от всех щелей. Для выяснения характера картины на экране рассмотрим дифракцию от двух щелей (рис5). Очевидно, что в тех направлениях,  в которых ни

одна из щелей не распространяет света, он не будет распространяться и при двух щелях, т.е. прежние минимумы интенсивности будут возникать в направлениях, определяемых условием (1.11)

 

(k=1,2,…).

 

Кроме того, в некоторых других направлениях вторичные волны, идущие от двух щелей, будут гасить друг друга вследствие интерференции, т.е. будут наблюдаться дополнительные минимумы. Они возникают в направлениях, отвечающих условию

 

(m=0,1,2,…),               (1.16)

 

где  - разность хода лучей, идущих от краев А и В щелей. Действие одной щели будет усиливать действие другой, если в разности хода укладывается целое число длин волн:

 

(m=0,1,2,…).            (1.17)

 

Формула (1.17) – условие образования главных максимумов.

БИЛЕТ 45

ДИФРАКЦИЯ НА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЁТКЕ. ФОРМУЛА ВУЛЬФА-БРЭГТА.

Дифракционную картину могут дать не только рассмотренные выше одномерные структуры, но также двумерные и трехмерные периодические структуры, например, кристаллические тела. Однако период кристаллических тел d мал, составляет единицы ангстрем (1 =10^-4 мкм), т.е. значительно меньше длин волн видимого света (0,4-0,8 мкм). Поэтому для видимого света кристаллы являются однородной средой, и дифракция не наблюдается.

Вто же время для значительно более коротковолнового рентгеновского излучения( 10-9 - 10-11 м) кристаллы представляют собой естественные дифракционные решетки (см. рис.6). Абсолютный показатель преломления рентгеновского излучения близок к единице, поэтому оптическая разность хода между лучами

Рис.6

1- и 2-, отражающимися от кристаллографических плоскостей CD+DE=2dsin, где d - расстояние между плоскостями, в которых лежат узлы (атомы) кристаллической решетки,  - угол скольжения лучей.

Условию интерференционных максимумов удовлетворяет [см.(3,15)] формула Вульфа-Брэгга

2dsin =m , m=1,2,3- (13)

где m - порядок дифракционного максимума.

МЕТОД ДЕБАЯ - ШЕРРЕРА

Метод Дебая — Шеррера - один из методов рентгеноструктурного анализа. Также называется методом порошка.

Монохроматический пучок рентгеновского излучения, направляется на образец исследуемого материала, растертого в порошок. На фотопленке, свернутой цилиндром вокруг образца, изображение (дебаеграмма) получается в виде колец. Расстояние между линиями одного и того же кольца на дебаеграмме позволяет найти брэгговские углы отражения. Затем, по формуле Брэгга - Вульфа  можно получить отношение  расстояния между отражающими плоскостями к порядку отражения.