Рис. 2.3

Р

Вершины ординат соединяются ломаной линией только для наглядности,

т. к. в промежутках x1 и x2

, x2 и x3 , … дискретная случайная величина никаких

И

значений принять не может и вероятность ее появления в этих промежутках

равна нулю.

У

Многоугольники распределения (см. рис. 2.3) могут иметь различную

Г

Б

форму, но имеют общее свойство – сумма ординат многоугольника распреде-

а

ления равна единице. Это следует из того, к к отмечалось ранее, что все воз-

к

можные значения дискретной случайной величины X образуют полную группу

несовместных событий.

е

т

2.3. Функция распределения

пределения постро ть нельзя. Поскольку непрерывная случайная величина

ной случайнойвеличины не обладает никакой, отличной от нуля, вероятностью.

б

нтервал числовой оси, отделить и перечислить их в какой-

няют некоторый

либо таблице невозможно. Кроме того, каждое отдельное значение непрерыв-

Функцией

распределения F(x), или интегральным законом распределе-

Поэтому желательно иметь наиболее общую форму закона распределения слу-

Б

F(x) = P(X<x).

(2.1)

Х

х

Х

Р

0

И

Рис. 2.4

Для дискретной случайной величины X функция распределения опреде-

ляется так:

Г

Б

У

F(x) = P(X

(2.2)

xi ).

xi x

а

случайной величины xi , которые по своей величине меньше аргумента x. Форму-

к

ла (2.2) показывает, что функция распределения дискретной случайной величины

е

X разрывна и возрастает скачками при переходе через точки возможных ее значе-

ний xi ,…,xn

, причем величина скач а равна вероятности соответствующего зна-

т

чения. Характерный вид F(x) для дискр тной случайной величины приведен на

рис. 2.5, F(x) для непрерывной случайной величины – на рис. 2.6.

о

и

л

б

и

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Свойства функции распределения одномерной случайной величины.

Б1. Функция распределения F(x) есть неотрицательная функция и прини-

P( X< ) = F( )–F( ).

(2.3)

что Х принимает значение лежащее между и :

В={ X< }; событие С со-

стоит в том, что случайная

величина Х принимает

Р

значение меньше β:

С={X< .

И

С

У

А

В

Г

Б

Х

а

Рис. 2.7

к

т. е. А В=O.

е

А и В несовместны,

Можно записать: С=А В, события

Применяя третью аксиому для н совм стных событий получаем

P(С)=P(А)+P(В).

(2.4)

о

функции

распределения (2.1)

и получаем:

Учитываем определение

P(С) = P(X< ) = F( ); P(А) = P(X< ) = F( ); P(В) = P( X< ). Подставляя эти

выражения в (2.4), получ м: Fт( ) = F( )+P( X< ) P( X< ) = F( )–F( ).

л

Замечание. Вероятность того, что непрерывная случайная величина при-

мет в результате опыта определенное значение, равна нулю. Покажем это.

б

того,

что непрерывная случайная величина при-

Опреде им вероятностьи

обозначается Ω, и вероятность этого события равна единице:

F( ) = P(X< ) = P( ) = 1.

Р

Все свойства функции распределения можно сформулировать так: каждая

И

функция распределения является неотрицательной, неубывающей функцией,

удовлетворяющей условиям F( ) = 0, F( ) = 1.

У

Отметим, что свойства функции распределения 1, 3, 4 называются ха-

Пример.

Для дискретной случайной величины заданной рядом распределения по-

строить функцию распределения.

Г

Ряд распределения имеет следующий вид.

Б

а

X

x1= 1

x2 = 2

x3 = 4

P

0,2

0,5

0,3

к

е

Для построения функции распределения используем формулу (2.2):

F(x) = P(X xi ).

т

xi x

Рассчитаем значен я функции распределения для фиксированных значе-

ний хi ,

взятых

з таб

о

цы.

1.

и

)= 0.

х1 =1, F(1) =

P(X xi

л

xi 1

2. xб2 = 2, F(2) =

P(X xi )= P(X =1) = 0,2.

и

xi 2

F(4) =

P(X xi )= P(X = 1) + P(X = 2) = 0,2 + 0,5 = 0,7.

3. x3 = 4,

Б

xi 4

Обязательно делаем четвертый шаг, полагаем x4 = , и суммируем

4.

вероятности для xi < :