- •1.3. Операции над событиями
- •1.5. Классический метод определения вероятностей
- •1.7. Свойства вероятности (основные теоремы)
- •1.9. Формула полной вероятности
- •1.10. Формула Байеса
- •2.3. Функция распределения
- •2.4. Плотность распределения непрерывной случайной величины
- •3.2. Закон распределения многомерной случайной величины
- •3.5. Условные законы распределения
- •4.1.1. Математическое ожидание
- •4.1.5. Моменты распределения случайных величин
- •5.1. Одномерное приближение
- •5.2. Двумерное приближение
- •5.4. Характеристические функции
- •6.1. Биномиальный закон распределения
- •6.3. Равномерный закон распределения
- •6.5.1. Функция Лапласа
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •8.1. Выборка, вариационный ряд, гистограмма
- •8.2. Оценки и методы их получения
- •8.2.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •8.3. Свойства оценок
- •9.3. Распределение Стьюдента (t – распределение)
- •9.4. Распределение Фишера (F-распределение)
- •11.3. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий (критерий Фишера)
- •11.5. Критерий Романовского
- •12.3. Коэффициент корреляции (оценки)
- •13.2. Числовые характеристики случайного процесса
- •13.8. Теорема Винера-Хинчина
- •13.10. Разложение случайного процесса в ряд Котельникова
- •13.12.1. Марковские процессы с непрерывным временем
ЧАСТЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
|
И |
|
ГЛАВА 8. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТ ЧЕСКОЙ |
||
СТАТИСТИКИ |
У |
Р |
|
||
8.1. Выборка, вариационный ряд, гистограммаГ |
|
|
а |
законами распределе- |
|
Если теория вероятностей оперирует с известнымиБ |
||
к |
|
|
ния и их параметрами (числовыми хара теристик ми), то математическая ста- |
ет параметры этого распределениязаменить, пров ряет гипотезы о параметрах принятого распределения. Это позволяет большое число экспериментальных данных небольшим числом параме ров распределения, которые в сжатом виде
тистика по результатам экспериментов проверяет, правильно ли подобрано
распределение (нормальное, биномиальное, э споненциальное и т. д.), оценива-
ральной случайной величиной.
характеризуют случайную величину и позволяют прогнозировать результаты |
||||
эксперимента при |
звестн мтк мплексе условий. |
|||
Пусть провод тся n змерений. В результате измерений получено n чисел |
||||
x1,x2,…,xn. |
|
|
|
о |
Ес и повтор ть еще раз n измерений, то получатся другие n чисел, |
||||
отличные от первогоинабора. Процесс из n измерений можно описать как n не- |
||||
зависимых случайных величин. |
||||
|
|
л |
|
|
Результат n наблюдений х1,х2,…,хn случайной величины X называется вы- |
||||
боркой, n |
– |
|
выборки, а сама случайная величина X – называется гене- |
|
|
объем |
|
|
|
и |
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
Результат эксперимента хi может быть интерпретирован либо апостериорной величиной, либо априорной. В первом случае это результат опыта. Во втором случае хi является случайной величиной (т. к. до опыта неизвестна), которая получит свое конкретное значение в результате какого-то i-го опыта. В этом случае можно предполагать, что закон распределения xi совпадает с законом распределения генеральной случайной величиной X и xi можно рассматривать как экземпляр генеральной случайной величины X.
102
Далее мы будем считать выборки априорными. При этом будем полагать, что элементы выборки – независимые случайные величины с одинаковым законом распределения, т. е. мы можем широко использовать теоремы независимых случайных величинах.
Упорядоченная в порядке возрастания последовательность выборочных значений образует вариационный ряд:
x(1) x(2) .... x(n) ,
члены вариационного ряда x(i) называются порядковыми статистиками. Если объем выборки n – велик, то выборка позволяет приблизительно оценить закон распределения случайной величиной X. Для этого необходимо построить гистограмму. Есть два способа построения гистограммы – равноинтервальный и рав-
новероятностный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|||||||
Рассмотрим равноинтервальный способ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xmin на k рав- |
|||||||
1. Разобьем весь диапазон выборочных значений от |
xmax до |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ных частей. Величину k выбирают достаточно произвольно, можноИтак: k n, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где n – объем выборки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Определяем длину каждого интервала: |
h |
xmax xmin . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
….. |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
ла |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Находим границы каждого интерв |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
для первого: a1 xmin, |
b1 a1 |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
h |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
для второго: a2 b1, |
b2 |
a2 h; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
для k-го: ak bk 1, |
|
|
bk |
интервал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ak |
h. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
ai |
bi |
, |
i 1,k . |
||||||||||||||||||||
Определим середины каждого интервала: |
x0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. Подсчитываем (исп льзуя вариационный ряд) количество выборочных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
значений, попадающ х в i-й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
интервал |
|
|
|
тельную частоту i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. Находим относ |
|
n |
|
|
попадания случайной величи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ной X в i-й |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полученные данные заносим в таблицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
… |
|
|
x |
i |
|
|
|
|
|
… |
|
|
x |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
[a1,b1] |
|
|
[a2,b2] |
|
|
|
[ai,bi] |
|
|
|
[ak ,bk ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m1 |
|
|
m2 |
|
|
|
… |
mi |
|
|
… |
mK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
… |
mi |
|
|
|
|
… |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта таблица называется статистическим рядом.
103