- •1.3. Операции над событиями
- •1.5. Классический метод определения вероятностей
- •1.7. Свойства вероятности (основные теоремы)
- •1.9. Формула полной вероятности
- •1.10. Формула Байеса
- •2.3. Функция распределения
- •2.4. Плотность распределения непрерывной случайной величины
- •3.2. Закон распределения многомерной случайной величины
- •3.5. Условные законы распределения
- •4.1.1. Математическое ожидание
- •4.1.5. Моменты распределения случайных величин
- •5.1. Одномерное приближение
- •5.2. Двумерное приближение
- •5.4. Характеристические функции
- •6.1. Биномиальный закон распределения
- •6.3. Равномерный закон распределения
- •6.5.1. Функция Лапласа
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •8.1. Выборка, вариационный ряд, гистограмма
- •8.2. Оценки и методы их получения
- •8.2.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •8.3. Свойства оценок
- •9.3. Распределение Стьюдента (t – распределение)
- •9.4. Распределение Фишера (F-распределение)
- •11.3. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий (критерий Фишера)
- •11.5. Критерий Романовского
- •12.3. Коэффициент корреляции (оценки)
- •13.2. Числовые характеристики случайного процесса
- •13.8. Теорема Винера-Хинчина
- •13.10. Разложение случайного процесса в ряд Котельникова
- •13.12.1. Марковские процессы с непрерывным временем
При n 25 |
закон распределения 2 |
практически совпадает с нормальным |
|||||||||||||||||||||||||||||
законом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квантилем 2 |
, |
(где – заданный уровень вероятности, |
– число степе- |
||||||||||||||||||||||||||||
ней свободы) называется такое значение 2 2 |
, , при котором |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
, |
|
|
|
(9.4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
т. е. это то значение 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
при котором площадь заштрихованной фигуры на |
|||||||||||||||||||||||||||||||
рис. 9.2 равна |
. |
Для |
определения квантилей |
2 |
составлены |
таблицы |
|||||||||||||||||||||||||
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
хи-квадрат распределения. Чтобы воспользоваться ими, необходимо задать |
|||||||||||||||||||||||||||||||
уровень вероятности и |
число степеней свободы . |
У |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
9.3. Распределение Стьюдента (t – распределение) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Случайная величина t имеет распределение Стьюдента, если она опреде- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ляется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XБ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
t X |
|
X |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(9.5) |
|||||||||
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Xi2а |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где X – нормированная нормальная случайная величина, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Y – величина |
2 |
с n |
с епенями свободы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
X и Y – независимые случайные величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
венством |
величина |
|
tявляется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Случайная |
|
|
|
|
|
|
|
|
функцией |
нормально |
распределенных |
||||||||||||||||||||
нормированных |
случайных |
|
величин |
и |
|
|
называется |
безразмерной |
дробью |
Стьюдента. П отность распределения случайной величины t определяется ра-
и |
л |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
n 1 |
|
||||||||
|
б |
f t |
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
||||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
(9.6) |
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||
где t . |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Числовые характеристики случайной величины t: |
|
|||||||||||||||||||
M t 0; |
D t |
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118
На рис. 9.3 приведены кривые распределения |
|
|
f(t) |
||
Стьюдента. Кривые на рис. 9.3 качественно напо- |
||
|
минают кривые нормального закона распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
с математическим ожиданием, равным нулю, и при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n они стремятся к нормальному закону. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Квантили распределения Стьюдента t |
2 |
, в за- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
висимости от числа степеней |
свободы |
и заданно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||||||||||||||||||||||||
го уровня вероятности находятся из уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( |
|
t |
|
t /2, ) 2 |
f (t)dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Рис. |
|
9.4 иллюстрирует |
процесс |
|
|
|
опреде- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ления квантилей, т. е. необходимо так выбрать |
Г |
И |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
|
, , чтобы суммарная площадь заштрихован- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных фигур была равна . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t /2, |
|
|
|
t /2, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9.4. Распределение Фишера (F-распределение) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Случайная |
величина |
F |
|
распределение Фишера, если она определя- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
о |
|
F |
U1 |
n1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.7) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где U и U |
|
– независимые случайные величины, имеющие распределение 2 с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n2 степенями свободы, т. е. F можно записать в следующем виде: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Б |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U12i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.8) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 U22i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Безразмерная случайная величина F (9.8) имеет плотность распределения, определяемую следующей формулой:
119
|
|
|
|
n1 |
|
|
n1 |
|
|
|
|
n1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f (F) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 2 . |
(9.9) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|||||||||
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
n2 |
|
|
n n F |
1 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Распределение случайной |
|
величины |
|
F зависит |
|
от |
|
двух |
параметров |
1 n1, 2 n2 – степеней свободы. График плотности распределения случайной величины F для разного числа степеней свободы приведен на рис. 9.5.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.5 |
|
|
Г |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|||
Квантили распределения Фишера F для заданного уровня вероятности |
||||||||||||||
и числа степеней свободы 1 |
и 2 определяются изБусловия |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
P(F F ) |
f (F)dF . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
F |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 9.6 показано, что надо так выбрать F , чтобы площадь заштрихо- |
||||||||||||||
ванной фигуры была равна заданнойевероятности . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
f (F) |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,5 |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
||
Б |
|
|
|
|
1 |
|
F |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.6 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как правило, квантили F находят по таблицам распределения Фишера и для их определения необходимо задать три параметра: уровень вероятности и число степеней свободы 1 и 2 .
120
ГЛАВА 10. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
10.1. Доверительный интервал, доверительная вероятность
Точечная оценка неизвестного параметра , найденная по выборке объе-
ма n из генеральной совокупности, не позволяет непосредственно узнать ошиб- |
||
|
|
Р |
ку, которая получается, когда вместо точного значения неизвестного параметра |
||
|
|
|
принимается некоторое его приближение (оценка) (x1,...,xn). Поэтому ча- |
||
|
|
И |
ще пользуются интервальной оценкой, основанной на определенииУ некоторого интервала, накрывающего неизвестное значение параметра с определенной
вероятностью. На рис. 10.1 изображен интервал длиной 2 , внутри которого в |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г |
любом месте может находиться неизвестное значение параметра . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
к |
X |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
е |
|
||||
|
|
|
|
|
Рис. 10.1 |
|
обычно задают заранее: 0,9; 0,95; 0,9973. И доверительная вероятность показы-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чем меньше разн сть | |, тем лучше качество оценки. И если записать |
||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
| |< , то ε будет характеризовать точность оценки. |
|
|||||||
|
|
|
о |
|
|
вероятность |
||
Доверите ьной |
вероятностью оценки называется |
|||||||
p 1 |
|
и |
|
|
|
вероятность р |
||
выпо нения |
|
неравенства |
| |< . Доверительную |
|||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
вает, что с вероятностью р параметр будет накрываться данным интервалом |
|||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
p( |
|
|
< )=p=1- |
|
|
|
|
или |
|
||||
|
|
|
|
(10.1) |
|||
|
|
p( < < + ) 1 . |
|
||||
|
Из (10.1) видно, что неизвестный параметр находится внутри интервала |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
] ; + [. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доверительным интервалом называется интервал ] ; [, накры- |
вающий неизвестный параметр с заданной доверительной вероятностью p 1 . Длина его (см. рис. 10.1) 2 . Параметр α –уровень значимости.
121
10.2. Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х при известной дисперсии (или )
Пусть эксперимент Е описывается нормальной случайной величиной Х.
(x m)2
Плотность распределения f (x) 1 e 2 2 . Предположим, что известна
2
дисперсия D X = 2 , а М[X] = m – неизвестна. Тогда точечную оценку матема-
тического ожидания можно получить из выборки объемом n:x1 |
,x2, |
...,xn – и она |
|||||
|
|
|
1 |
n |
|
Р |
|
определится так: |
x |
|
xi . Рассматривая выборку x1,...,xn как n независимых |
||||
|
|||||||
|
|
|
n i 1 |
|
|
случайных величин, имеющих одно и тоже нормальное распределение, определим числовые характеристики x :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
M[ |
x |
] M[ |
|
|
|
|
x |
] |
|
|
|
|
|
M[ |
|
|
|
|
|
|
x |
] |
|
|
|
|
|
|
|
M |
x |
|
|
|
|
m m, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
n |
|
|
И |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
У2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
D[x]= D[ |
xi |
]= |
|
|
|
D[xi]= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
откуда получим |
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гn |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.2) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для определения доверит льного |
интервала |
|
рассмотрим разность между |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оценкой и параметром: |
x |
m. Нормирукм ее (сделаем безразмерной), т. е. раз- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
делим на |
D |
x |
|
и обозначим как случайную величину U: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
x |
|
m |
= |
|
x |
m |
|
|
x |
|
|
m |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D[x] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Покажем, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
что случайная величина U имеет нормированный нормальный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
закон распреде ен я. Найдем ее числовые характеристики: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
m |
|
|
|
|
|
|
m m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
лM[U] M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
/ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
m 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 /n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D[U] M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
[(x m) |
|
] |
|
|
|
|
1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом M U |
= 0, D U |
|
|
=1 – это значит, что U имеет нормиро- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ванное нормальное распределение, график которого изображен на рис. 10.2.
122
f (U )
/ 2 |
/ 2 |
|
U |
U p |
0 |
U p |
Зная плотность распределения случайной величины U, легко найти вероятность попадания случайной величины U в интервал [ Up;Up ] (см. рис. 10.2):
|
|
|
|
Up |
|
|
|
|
|
Up |
|
|
У |
Р |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
P( Up |
U Up ) |
|
2 Up |
e 2 du |
|
2 |
0 |
e |
|
2 du Ф(Up ). |
(10.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
Левая часть этого уравнения представляет собой доверительную вероятность p: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
x |
m |
|
|
|
|
|||
P( Up |
|
|
Up |
) p 1Г. |
(10.5) |
|||||
|
|
|
||||||||
|
||||||||||
|
|
/ n |
а |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
к |
|
|
||||
Тогда из (10.4) и (10.5) следует уравнение |
|
|
||||||||
|
е |
|
|
(10.6) |
||||||
т |
Ф(Up ) p. |
Решая уравнение (10.6), по таблицам функции Лапласа для заданной доверительной вероятности p 1 можно найти границы доверительного ин-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
Up . Считая, что квантили Up |
известны, преобра- |
||||||||||||||||||||||||||
тервала для U, т. е. кван или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
зуем правую часть уравнения (10.5), подставляя в нее (10.3): |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
л |
|
P( Up |
|
|
|
|
x |
m Up |
|
|
) 1 , |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
б |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P( |
x |
Up |
|
m |
x |
Up |
|
|
) 1 . |
(10.7) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||
|
Сч тая, что 2 – известна, из (10.7) следует, что доверительный интер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вал ] |
x |
U |
|
|
|
; |
|
x+U |
|
|
|
[ накрывает неизвестное математическое ожида- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
иp |
|
n |
|
|
p n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние m c заданной доверительной вероятностью p =1 . Точность оценки ма-
тематического ожидания или длина доверительного интервала
Up . (10.8)
n
Замечания по формуле (10.8):
123
1)при увеличении объема выборки n из (10.8) видим, что е уменьшается, значит, уменьшается длина доверительного интервала, а точность оценки увеличивается;
2)увеличение доверительной вероятности p=1 приводит к увеличе-
нию длины доверительного интервала (см. рис. 10.2, где квантили Up увеличи-
ваются), т. е. е увеличивается, а точность оценки падает;
3) если задать точность е и доверительную вероятность p=1 , то можно найти объем выборки, который обеспечит заданную точность:
|
U2 2 |
|
|
|
|
n |
p |
. |
|
|
(10.9) |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
Р |
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сколько конденсаторов одного номинала надо измерить, чтобы с вероят- |
|||||
|
|
|
У |
|
|
ностью 0,95 можно было утверждать, что мы с точностью 1 % определили их |
|||||
среднее значение – математическое ожидание. |
Г |
И |
|||
Обозначим = 0,01, р = 0,95; |
по таблицам функции Лапласа найдем |
квантиль для заданной доверительной вероятности 0,95: Up = 1,96. Для прове-
дения расчетов положим = 0,05. Подставляя эти значения в (10.9), получим |
||||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
n |
|
1,962 |
0,052 |
96Б. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
к |
||
|
|
0,012 |
|
|
||
|
|
|
е |
|
|
|
|
инт |
|
|
|
||
10.3. Доверительный |
|
рвал для математического ожидания |
||||
нормальной случайной величины Х при неизвестной дисперсии или |
||||||
о |
|
|
|
|
|
|
Пусть эксперимент писывае ся случайной величиной Х с нормальным |
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
распределением с не звестными параметрами m и . Для определения точечных оценок этих параметров из генеральной совокупности извлечена выборка
борочную дисперсию, несмещенную оценку. Для построения доверительного интервала рассмотрим разность между оценкой и параметром: x m. Нормиру-
x1 |
,...,xn объемом n. Тогда точечные оценки этих параметров определяются так: |
||||||||||||||||
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(xi x) |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
m x , |
S |
|
|
|||||||||||
|
|
б |
|
|
|
n 1 i 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
Здесь спользовали для оценки дисперсии |
|
S |
– модифицированную вы- |
|||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ем ее, т. е. разделим на D x и обозначим результат как случайную величи-
ну t. Ранее мы показали, что D x 2 /n, но т. к. здесь неизвестна, возьмем ее оценку , и тогда D x 2 /n. Тогда случайная величина t принимает вид
124
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
x |
|
m |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S/ |
|
n |
|
|
|
|
|||
Умножим числитель и знаменатель в (10.10) на : |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
|
|
x |
m |
|
|
|
|
x |
m |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n x |
x |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi x) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n 1 i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 i 1 |
|
|
|
(10.10)
|
|
X |
|
|
. |
(10.11) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
||||||
|
1 |
|
ч2 |
|
|||
|
|
n 1 |
|
||||
|
|
n 1 |
|
Здесь Х – нормированная нормальная случайная величина, знаменатель –
распределение 2 |
Р |
с n–1 степенями свободы. Поэтому, согласно определению |
(см. раздел 9.3, формула (9.5)), можно утверждать, что случайные величины t, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
определяемые по формулам (10.10) и (10.11), имеют закон распределения |
|||||||||||||||||||||||||
Стьюдента с n–1 степенями свободы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
||||||||||||
Зная закон распределения случайной величины t |
и задавая доверительную |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
||
вероятность p 1 , можно найти вероятность попадания ее в интервал ] tp , |
|||||||||||||||||||||||||
tp [ (рис. 10.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
/2 |
|
|
к |
|
|
/2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
tp |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
tp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10.3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
л |
P( tp |
t tp ) |
|
tp |
f (t)dt p 1 . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(10.12) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Стьюдента по заданной доверительной вероят- |
|||||||||||||||||||||
Из та иц распределенийи |
|||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t /2, n 1 , |
|
ности p 1 и числу степеней свободы n–1 находим квантили tp |
|||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющие условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Б |
|
|
|
|
P( tp |
t tp ) p 1 . |
|
|
(10.13) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Подставляя в (10.13) вместо t равенство (10.10), получаем |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P( tp |
|
|
x |
m |
|
tp ) p 1 . |
|
(10.14) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S / |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Разрешим неравенство в левой части формулы (10.14) относительно m:
125
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( |
x |
tp |
S |
|
m |
x |
tp |
S |
|
) p 1 . |
(10.15) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Отсюда |
непосредственно |
|
следует, что |
доверительный |
интервал |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
tp |
|
, |
x |
tp |
|
|
|
накрывает неизвестный параметр m – (математи- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ческое ожидание) с доверительной вероятностью р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Интервал (10.15) несколько шире интервала (10.7), определенного для той |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
же выборки и той же доверительной вероятности. Зато в (10.15) используется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
меньшая априорная информация – знать не надо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Можно обозначить ширину доверительного интервала или точность через |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 , и из (10.15) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
И |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 tp |
|
|
|
|
|
. |
Г |
(10.16) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Все замечания, сделанные по формуле (10.8), справедливы и для форму- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лы (10.16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Даны результаты четырех измерений н пряжения сети (значения приве- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дены в [В], |
n 4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x1 220, |
|
x2 226, |
|
|
x3 |
224, |
|
x4 |
222. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Считаем, что X – напряжение с ти – является нормальной случайной ве- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
личиной. Построить доверительный инткрвал с вероятностью 0,95 для истинно- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
го напряжения сети – m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оценку |
m: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Найдем точечную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
m x |
(220 226 224 222) 223 |
|
[В]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Из |
|
n |
|
|
|
|
ц |
|
|
распределения |
|
|
|
|
|
Стьюдента |
|
|
для |
|
p 0,95; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 p 0,05; |
n 1 3 – |
число |
степеней свободы; |
находим |
квантиль |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
t |
|
|
|
|
|
= 3,18. Вычислим модифицированную выборочную дисперсию |
|
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,025, 3 |
S |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,95 |
|
табл |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
и |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
(x |
|
)2 |
1 |
(9 9 1 1) |
20 |
[В2]. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Б |
|
|
|
S |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
б n 1 |
1 |
i |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Тогда |
S |
2 2,6[В]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Полученные значения подставим в формулу (10.16): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 tp |
|
S |
3,18 |
4,2 [В]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем левую и правую границы доверительного интервала для m: x 0 223 4,2 218,8 [В],
x 0 223 4,2 227,2 [В].
126
Таким образом, истинное напряжение сети с вероятностью 0,95 накрывается доверительным интервалом ]218,8, 227,2[ [В].
Найдем минимальное число измерений, чтобы c вероятностью 0,95 точность определения истинного напряжения сети не превышала 0,5 В, т. е.
0 0,5. Из (10.16) имеем |
|
|
|
||||
|
tp2 |
|
2 |
|
2,62 3,182 |
|
|
n |
S |
|
273 измерения. |
||||
2 |
0,52 |
||||||
|
|
|
Видим, что число измерений n велико. Следует отметить, что значение квантиля t0,95 t0,025, 3 = 3,18 зависит от n и при увеличении n будет убывать. При
больших n (n >100) значение квантиля стремится к постоянной величине и рав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
но tp t0,95 1,96 . |
|
Тогда |
после коррекции |
значения |
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
квантиля |
вычисляем по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле (10.16) скорректированное значение n : |
|
|
|
|
У |
|
Р |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
tp2S2 |
|
2,62 1,962 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0,5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
104 измерения. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
10.4. Доверительный интервал для дисперсии или нормальной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случайной величины Х |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим вероятностный э сперимент |
с нормальной моделью, где па- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
раметры m и неизвестны. Пр дположима, что по выборке x1,...,xn найдены |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точечные оценки этих параметров: |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x) |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
m x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Составим всп м га ельную случайную величину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
л |
оV (n 1)S2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.17) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч2 с = n–1 степенями |
|||||||||||
Эта с учайная величина имеет распределение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
свободы. Покажем это, подставив в (10.17) выражение для S |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иV |
|
n 1 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n (x |
x |
)2 |
|
|
n x |
x |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi x) |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Это и есть распределение хи-квадрат с n–1 |
степенью |
|
свободы. На |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рис. 10.4 приведен график этого распределения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
f (V)
/2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Зная закон распределения случайной величины |
V, определим вероят- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ность того, что случайная величина V попадет в интервал ]V1,V2 [: |
Р |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
(10.18) |
|||
|
|
|
|
|
P(V1 V V2) f (V)dV p = 1 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
||||
Здесь f(V) плотность распределения 2 с n–1Гстепенями свободы. Из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рис. 10.4 видно, что кривая для плотности распределения 2 |
несимметрична |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
||||||||
относительно центра распределения, поэтому гр ницы доверительного интер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вала или квантили V1 и V2 |
для данной вероятности р не определяются одно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
значно. Чтобы избежать неопред л нности будем их находить из условия |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
1 p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
P(V V ) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
P(V V ) |
|
. |
|
|
(10.19) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
е |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Это означает, |
что пл щади заш рихованных фигур равны. Задавая дове- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рительную вероятность p =1–т, по таблицам распределения 2 |
|
для числа сте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пеней свободы n–1, |
спользуяусловия (10.19), находим квантили V1 и V2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Считая V1, V2 |
|
p известными, перепишем (10.18) в следующем виде: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
и |
|
P(V1 V V2) p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.20) |
||||||||||||||||||
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V , определяемое формулой (10.17): |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Подстав м в (10.20) значение |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
(n 1) |
s |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и |
|
|
|
P(V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ) p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.21) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решаем неравенство в левой части (10.21) относительно 2 : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( |
(n 1)S |
2 |
(n 1)S |
) p. |
|
|
|
|
|
(10.22) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (10.22) записываем доверительный интервал для 2 :
128
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(n 1)S |
, |
|
(n 1)S |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для среднего квадратического отклонения доверительный интервал |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
S |
, |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Можно ввести коэффициенты г1иг2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
(10.23) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
V |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
2 |
И |
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
/2,n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1- /2, n 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
||||||
Тогда доверительный интервал для определится следующимРобра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
S |
, S |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Коэффициенты |
1 и 2 , соответствующие доверительной вероятности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p =1–α и числу степеней свободы n |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1, находятся по таблицам распределе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ния 2 . |
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В предыдущем разделе (10.3) прив ден пример для измеренных значений |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
напряжения сети. Продолжим и найдкм доверительный интервал для среднего |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадратического отклонения . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдена точечная оценка для : |
|
|
|
|
|
|
2,6. Задавая доверительную ве- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
S |
роятность p =1 – α = 0,95 , зная число степеней свободы n 1= 4–1= 3, по |
|||||||||
|
|
|
и |
2 |
|
|
|
|
|
таблицам распределен я |
т, используя (10.23), находим коэффициенты |
||||||||
1 0,566, |
л |
|
|
|
|
|
|
||
2 3,73. о |
|
|
|
||||||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 0,566 2,6 1,47[B]. |
||||
Тогда нижняя граница для : 1 |
|||||||||
|
|
3,73 2,6 9,7[B]. |
|||||||
Верхняя граница для : 2 S |
|||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И окончательно: 1,47 9,7. |
|
|
|
||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129
ГЛАВА 11. ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ
11.1. Основные понятия
гистограмму, то можно по виду гистограммы сделать предположениеР(выдвинуть гипотезу) о виде закона распределения генеральной случайной величины X.
Пусть имеется выборка x1,x2,...,xn объемом n. Если по выборке построить
Тогда нулевой гипотезой H0 называют основную (проверяемую) гипоте-
зывается гипотеза, которая принимается тогда, когда отвергается нулевая.
зу, которая утверждает, что различие между сравниваемыми величинами от- |
||
сутствует. |
|
И |
Альтернативной (конкурирующей, противоположнойУ) гипотезой Н на- |
||
|
Г |
|
|
Б |
|
Целью статистической проверки гипотез является выбор критерия по выборке x1,...,xn , на основании которого приним ется гипотеза H0 или отклоняет-
ся в пользу альтернативной. При этом возможны ошибки двух видов:
1. Отклонение H0 , когда она на самом деле верна – ошибка первого рода. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
Вероятность этой ошибки обознача тся |
и называется уровнем значимости. |
|||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
2. Принятие H0 , когда она на самом деле не верна – ошибка второго рода, |
||||||||
вероятность ошибки – . |
|
|
е |
|
||||
|
|
|
о |
|
|
|
||
Чем серьезнее будут п следс вия ошибки первого рода, тем меньше надо |
||||||||
выбирать уровень |
значим |
|
|
|
|
|||
|
|
сти . Обычно выбирают 0,01 0,05. |
||||||
Статистическ й характеристикой Z гипотезы H0 называется неко- |
||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
торая случайная ве ч на, определяемая по выборке, для которой известен за- |
||||||||
кон распреде ения. |
|
|
|
|
|
|
||
Областью отк онения (критической областью) G0 называется область, |
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
при попадан в которую статистической характеристики Z гипотеза H0 |
||||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
отклоняетсяб. |
|
|
|
|
|
|
Дополнен е области отклонения до всех возможных значений статистической характеристики Z называется областью принятия G.
При попадании статистической характеристики Z в область принятия гипотеза H0 принимается. На рис. 11.1 изображены область отклонения G0 и область принятия G. Разделяет их точка на числовой оси z .
130
f (z)
|
|
0 |
Z |
z |
G0 – область принятия |
G – область |
|
|||
|
|
отклоненияя |
|
||
Рис. 11.1 |
|
|
|
|
И |
0 |
|
|
|
|
|
При попадании Z в область принятия гипотеза H0 принимается. По суще- |
|||||
ству область принятия есть доверительный интервал для статистическойРхарак- |
|||||
теристики Z с доверительной вероятностью p =1 – . |
У |
||||
|
|
||||
Область отклонения G выбирается таким образом, |
чтобы вероятность |
||||
попадания в нее статистической характеристики Z при условии, что H0 верна, |
|||||
0 |
0 |
Б |
|
|
|
равнялась уровню значимости . То есть область отклонения удовлетворяет ус- |
|||||
ловию: |
а |
Г |
|
||
P(Z G |
0 |
|
(11.1) |
||
:H ) . |
|
|
|||
к |
|
|
|
|
С другой стороны, для того чтобы уменьшить вероятность ошибки второго рода при выбранном , область от лонения G , удовлетворяющую усло-
вию 1, нужно выбрать таким образом, чтобы вероятность попадания в нее ста- |
||||||||||||||
тистической характеристики Z при условии, что верна альтернативная гипотеза |
||||||||||||||
Н, была максимальной, |
. е. |
|
е |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
P(Z G0 |
|
:H) max. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вероятность |
– называетсят мощностью критерия проверки гипотез. |
|||||||||||||
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как события |
Z GоZ |
|
G – противоположны, то можно написать |
|
||||||||||
|
б |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
P(Z G0 :H) P(Z |
|
G0 :H) 1. |
|
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким о разом, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
(11.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где P(Z |
|
G0 :H) |
|
( – вероятность совершения ошибки второго рода). |
Отметим, что ошибка первого рода существенней, поэтому мы выбираем, а – нет (принимаем полученное значение).
Из (11.2) следует, что между и существует простая зависимость и чтобы уменьшить , надо увеличить мощность критерия . Если max, то min.
Между и простой функциональной связи не существует, можно только сказать, что с увеличением одной, другая уменьшается и наоборот.
131
На рис. 11.2 приведены две кривые плотности распределения: одна кри- |
|||||||||||||||||
вая y = f(Z|H0) – когда верна гипотеза H0 , другая кривая y = f(Z|H) – когда верна |
|||||||||||||||||
альтернативная гипотеза H. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y f (z H0 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f (z H) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z |
|
z z область |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отклонения |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 11.2 |
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из рис. 11.2 видно, что при уменьшении z |
|
возрастает, область откло- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
||
нения сужается и, следовательно, уменьшается вероятность отклонения гипоте- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
зы H0 , если она верна. Вместе с тем при сужении области отклонения G0 рас- |
|||||||||||||||||
ширяется область принятия G и увеличив ется вероятность принятия гипотезы |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
||
H0 , если она на самом деле не верна. Поэтому нельзя брать слишком малой. |
|||||||||||||||||
Гипотезы бывают двух видов – параметрические и непараметрические. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
||
Параметрические гипотезы – это гипотезы о проверке параметров за- |
|||||||||||||||||
конов распределения. |
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Непараметрические – э |
о гипо |
езы о виде закона распределения. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
11.2. Проверка г п |
|
равенства математических ожиданий |
||||||||||||||
|
|
при не |
|
тезы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
звестной |
дисперсии (критерий Стьюдента) |
||||||||||||||
Пусть X |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и Y – независимые нормальные случайные величины. |
|
||||||||||||||||
Введем о означения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
M[X] x, |
|
|
|
|
M[Y] y, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
|
|
D[X] 2x. |
|
|
|
|
|
D[Y] 2y. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть дисперсии этих случайных величин равны и неизвестны: |
|||||||||||||||||
Б |
|
|
|
|
2x 2y 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где 2 – не предполагается известным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть даны выборки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x1,...,xn1 ) X, (y1,...,yn2 ) Y.
132
По выборкам найдем критерий проверки гипотезы H0 , состоящей в том, что математические ожидания этих случайных величин одинаковы:
H0 : x y .
При альтернативной гипотезе H : x y .
Известно, что случайные величины
|
|
2 |
|
|
n S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n S |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
имеют распределение 2 |
c n 1и n |
|
|
1 степенями свободы, где |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
||||||
S12 |
|
i 1 (xi |
x |
)2, |
|
|
|
|
|
x |
|
|
i 1 |
xi, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
У |
|
|
|
|
||||||||
S2 |
|
1 |
|
n2 |
(y |
|
)2, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n2 |
y . |
И |
|
|
||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
n |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сумма независимых случайных величин с распределением |
2 |
имеет то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
же распределение 2 с суммарным числом степенейГсвободы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n S |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
n SБ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
2 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.3) |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Случайная величина W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с n1 n2 –2 степенями |
|||||||||||||||||||||||
им |
|
|
т распределение |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
свободы, (этот факт не очевид н, но н сложно показать с помощью характери- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стических функций). |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ранее мы показывали, ч о несмещенной оценкой математического ожи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дания является выб р чн е среднее. Поэтому для проверки гипотезы H0 возь- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
||
мем разность между |
ценками математических ожиданий: |
|
. Нормируем |
эту разность, т. е. сделаем безразмерной. Для этого разделим ее на D[x y] и обозначим как U:
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но: D[ |
x |
] |
2x |
, D[ |
y |
] |
2y |
, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
x y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
U |
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
n2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D[ |
x |
|
|
y |
] |
|
|
|
|
D[ |
x |
] D[ |
y |
] |
|
|
учтем, что 2x |
2y |
2 |
|
|
||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Б |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133
Очевидно, что случайная величина U имеет нормальное распределение, т. к. X и Y нормально распределены. Если проверяемая гипотеза Н0 о равенстве математических ожиданий выполняется ( x y ), то имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
M[U] M[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
] |
|
M[ |
x |
] M[ |
y |
] |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
D[U] D[ |
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D[ |
x |
] D[ |
y |
] |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
n2 Р |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
D[ |
1 |
n1 |
x ] D[ |
1 |
|
|
|
n2 |
|
y |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
D[ |
n1 |
x ] |
1 |
|
|
D[ n2 |
y ] |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Иi |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n1 i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
верна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.к. x |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
, то случайная величина U имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Таким образом, если гипотеза |
Н0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нормированный нормальный закон распр деления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим случайную величину t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.5) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тn1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где S |
2 |
|
|
n S2 |
n S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
б |
|
|
– объединенная выборочная дисперсия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
n n |
2 |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайнуюлвеличину t можно представить в следующем виде через ранее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
введенные U |
|
|
|
W: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t U |
|
|
|
n1 n2 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.6) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
БДействительно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t U |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
(11.7) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1S12 n2S22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
т. е. правые части (11.5) и (11.6 или 11.7) совпадают.
134