n

n

0,

yi n xi

i 1

i 1

(12.6)

n

n

n

2

0.

yixi

xi

xi

i 1

i 1

i 1

n

n

n

n

1

n

Учтем, что xi

(xi

x

) xi

nx

xi n

xi 0.

i 1

i 1

i 1

i 1

n i 1

1

n

ˆ

yi

yi .

(12.7)

Из второго уравнения (12.6) имеем

n i 1

n

n

n

n

ˆ

yixi

ˆ

ˆ

2

i 1

y x

x

x

0,

(12.8)

i c

i

i

Иn

i 1

i 1

i 1

У

2

xi

i 1

После определения точечных оценок обычно проверяют предположение о

Г

Б

виде эмпирической функции регрессии: линейная она или нелинейная. На прак-

тике условное математическое ожидание M[Y / X] (X)

(или уравнение рег-

рессии 1-го рода) часто считают линейной функцией, т.

е. (x) x. Это

статистической зав смости(т. е. экспериментальных данных) к функциональ-

ной.

величины

л

б

12.3. Коэффициент корреляции (оценки)

изучении курса теории вероятностей в разделе 4.2 мы определили

При

ковариацию или корреляционный момент

Б

Kxy

(12.9)

M (x mx )(y my )

и коэффициент корреляции

Kxy

xy

.

(12.10)

y

y

x

x

1

n

Kˆxy

(xi

x

)(yi

y

),

(12.11)

n i 1

Kˆxy

1

(xi

x

)(yi

y

)

n

Р

.

xy

x y

1

(xi

x

2)

1

(yi

y

2)

(12.12)

И

n

n

Найдем связь между точечной оценкой коэффициента линейного урав-

Преобразуем Kˆxy (12.11):

Г

€

1

1

Б

K

(x y x y xy x y) (

x y

y

y

x y)

n

x x

xy

i

i

i

i

n

i

i

i

iУ

(12.13)

1

( xi yi

1

xi

ny

x

n

x

y

nx

y

)

yi

x

y

xy

x

y

.

n

n

а

Рассмотрим оценку ˆ (12.8). Преобр зуем выражение:

е

yi (xi

xi ) yixi

x yi

yixi

nx y (yixi

x y)

yixi

xi

1

xi yi

т

yi

n

nxy

nxy nx

y

n(xy

xy

).

n

и

Данное выражение

пределяется через выборочную дисперсию Sx2 :

л

n

n

о2

1

2

2

(xi x)

n

nSx .

xi

Тогда оценка ˆ

i 1

n i 1

(12.8) определится через Kxy, xy так:

и

ˆ

n(

xy

x

y

)

Kˆxy Sy

Kˆxy Sy

Sy

Б

nSx2

Sx2 Sy

SxSy Sx

Sx

,

(12.14)

б

xy

где

Sx2

1

(xi

x

)2,

Sy2

1

(yi

y

)2 – выборочные дисперсии.

n

n

Уравнение линейной регрессии (12.2) будет иметь вид

y ˆ

ˆ

Sy

x .

(12.15)

Sx

i

xy

i