0

D[X Y] D[Z] M[Z2] M[(Z mz)2].

(4.14)

Поскольку X и Y независимые – mz

mx my

,

D[X Y] M[(X Y mxmy )2]

(4.15)

M[X2 Y2] 2mxmyM[X Y] mx2my2 .

Р

Если X и Y независимые, то X2,Y2

тоже независимы, тогда

2

2

2

2

У

M[X

Y

]

M[X

] M

[Y

],

И

(4.16)

M[X Y] mx my .

Б

Подставим (4.16) в выражение (4.15) и получим

D[X Y] M[X2] M[Y2] mx2 my2 .

а

Г

(4.17)

Найдем M[X

2], используя свойство 3 дисперсии:

D[X] M[X2

] m2 .

к

Отсюда получим

x

е

т

M[X2] D[X

] mx2 .

(4.18)

Аналогично для

случайной

величины Y

и

M[Y2] D[Y

] my2 .

(4.19)

л

Подставляя (4.18, 4.19) в (4.17), получим (4.13):

D[X Y] (D[X] mx2)(D[Y] my2) mx2 my2

б

D[X] D[Y] mx2D[Y] my2D[X].

и

Б

4.1.5. Моменты распределения случайных величин

k M

k

(4.20)

X

.

Р

k xk f x dx.

(4.21)

Аналогично, применяя формулу (4.7), начальный момент k-го порядка для

дискретной случайной величины запишется так:

И

У

n

k xik Pi .

(4.22)

Г

i 1

Особо важное значение имеет начальный момент первого порядка. Видим,

что при k = 1 1 M X и представляет м темБтическое ожидание. Начальные

Центральным моментом k-го поряд

случайной величины X называет-

а

ся математическое ожидание в личиныкX mx k .

Обозначать центральный

момент

k-го порядка будем k

и определять

следующим образом:

k

M

k

(4.23)

(X mx )

.

При использован

т

общего определения математического ожидания (4.6),

о

и

л

если обозначить (x) (X mx )k , центральный момент k-го порядка для непре-

рывной случайной ве ичины запишется так:

б

k

xi mx k

f x dx.

(4.24)

Пр меняя формулу (4.7), центральный момент k-го порядка для дискрет-

и

ной случайной величины рассчитывается так:

Б

n

k

xi mx k

Pi .

(4.25)

Р

том асимметрии: A 3 / 3 . На рис. 4.10 и 4.11 показана положительная и от-

рицательная асимметрия соответственно.

И

f (x)

f (x)

Г

A 0

Б

УA 0

а

x

x

е

Рис. 4.10

Рис. 4.11

т

4

Четвертый центральный

мом нткиспользуется для

характеристики

плосковершинности. Введя

4

безразм рный коэффициент плосковершинности

B 4

/ 4

, можно

показа

ч о для нормального закона распределения

ь,

B 4

/ 4

3. Тогда в качестве характеристики плосковершинности применя-

ют безразмерный коэфф ц ент, называемый эксцессом: Э 4

/

3.

л

б

f(x)

Э>0

и

и

Э=0

Б

Э<0

x

mx

Рис. 4.12

ся по формуле

Kxy cov X,Y

M

X

mx Y my

Р

M

Ymx M

M XY M Xmy

mxmy

M

XY

2M

X

M

X

И

M Y

M Y

M XY M X M Y ,

У

(4.26)

где математическое ожидание составляющей Х

для непрерывной двумерной

случайной величины (X, Y) вычисляется так:

Г

Б

mx

xf x,y dxdy xf1 x dx.

(4.27)

а

Для составляющей Х дискретной двумерной случайной величины (X, Y)

mx

к

xiPi

xiPij .

(4.28)

что корреляционный момент

показывает

рассеивание (отклонение) случайных

i

j

величин X, Y относительно

среднего значения и одновременно характеризует

влияние одной случайн й величины на другую.

Для дискретн й двумернойтслучайной величины (X,Y)

корреляционный

л

момент запишется тако:

б

xy

i

m

x

y

j

m

y

ij

i

j ij

x

m

y

.

(4.29)

иK

x

P

x y

P m

i j

i j

Корреляционный момент для непрерывной двумерной случайной величи-

ны (X,Y)

меет следующий вид:

и

Kxy

x mx y my

f x,y dxdy

xyf x,y dxdy mxmy .

(4.30)

Б

KX ,Y

x mx y my f x,y dxdy x mx f1 x d y my f2 y dy

x mx f x dx xf x dx mx f x dx mx mx 0.

Обратное утверждение, если KX,Y

0, то случайные величины X и Y неза-

висимы, не всегда выполняется.

Р

Корреляционный момент имеет размерность квадрата случайной величи-

И

ны, но на практике для характеристики связи чаще используют безраз-

мерные

величины.

Поэтому

составляющие нормируют.

Если

положить

X

(X mx)/ x , Y (Y my )/ y ,

то корреляционный момент нормированных

случайных величин X и Y называется коэффициентом корреляции и обознача-

ется

У

M[XY] M

X m

x

Y my

mxy mxmy

Kxy

.

(4.31)

xy

x

y

x

Г

y

y

x

а

Коэффициент корреляции является безр змернойБвеличиной и характери-

зует степень линейной связи между сост вляющими

X и Y двумерной случай-

ной величины (X,Y).

Свойства коэффициента корр ляциик

1. Абсолютная величина коэффициентае

корреляции не превосходит еди-

ницу

xy

о

1; при доказательс ве свойс ва 4 дисперсии мы получили

и

0 D

X Y

2cov

XY

л

mx

1

но: D X

D

X

M X mx 2 1

2

x

x

и

2 1 xy 1 xy 1.

Б

между со-

2.

В бзав симости от значения коэффициента корреляции xy