![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Васюков В_Н_ Теория электрической связи_
.pdf![](/html/2706/180/html_PiNyett_uh.tG3b/htmlconvd-YkZBG861x1.jpg)
2.9. Частотное описание ЛИС-цепей |
63 |
ражение Y( f ) H ( f )X ( f ) , связывающее выходной сигнал ЛИС-
цепи с входным сигналом. Заметим, что это выражение соответствует в конечномерном случае умножению вектора на диагональную матрицу (2.29).
Подытоживая, можно сказать, что представление входного сиг-
нала относительно собственного базисного ядра e j 2 ft имеет пре-
имущество перед динамическим представлением, так как вместо
интегрального выражения свертки связь входного сигнала с вы-
ходным описывается произведением спектральных плотностей. Уместно еще раз напомнить, что «естественное» временнóе пред-
ставление сигнала x(t) |
– это |
также спектральная плотность, |
только относительно ядра |
(t |
) . |
Выражение |
|
|
Y( f ) H ( f )X ( f ) , |
устанавливающее связь спектральных плотностей сигналов на входе и выходе ЛИС-цепи через еѐ комплексную частотную характе-
ристику, служит основой спектрального метода анализа линей-
ных стационарных цепей, широко используемого благодаря своей простоте. Именно этим объясняется исключительная роль ряда и интеграла Фурье в теории сигналов и цепей.
Функция H ( f ) в общем случае является комплексной, H( f ) K( f )e j ( f ) , что неудобно. Часто рассматривают еѐ модуль и аргумент по отдельности, при этом модуль K( f ) H ( f ) назы-
вают амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент ( f ) – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) цепи.
Пример 2.18. RC-фильтр нижних частот, представленный на рис. 2.18, имеет амплитудно-частотную характеристику и фазочастотную характеристику, показанные на рис. 2.21.◄
K(f) |
|
0 |
f |
(f) |
f |
а б
Рис. 2.21. Амплитудно-частотная характеристика (а) и фазочастотная характеристика (б) RC-фильтра нижних частот
![](/html/2706/180/html_PiNyett_uh.tG3b/htmlconvd-YkZBG862x1.jpg)
64 |
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ |
Значение комплексной частотной характеристики при заданной частоте f может в принципе быть измерено как отношение сигна-
ла на выходе ЛИС-цепи к входному сигналу, если этот входной
сигнал – функция e j 2 ft . Таким образом, функция e j 2 ft при произвольно задаваемой частоте f может рассматриваться, как ис-
пытательный сигнал, позволяющий получить описание цепи (КЧХ). Другим испытательным сигналом является -функция, ко-
торая могла бы быть использована для получения отклика цепи в виде импульсной характеристики. Поскольку КЧХ и импульсная характеристика связаны друг с другом взаимно однозначно (через пару преобразований Фурье), должна существовать связь и между соответствующими им испытательными сигналами. В самом деле,
-функция может рассматриваться как интегральная сумма одно-
временно воздействующих на вход цепи функций e j 2 ft , так как еѐ спектральная плотность
|
|
|
(t)e j 2 ft dt 1. |
|
|
Каждая из комплексных гармонических функций умножается цепью на соответствующее значение КЧХ, поэтому импульсная
характеристика – отклик на |
-функцию |
|
|
|
|
h(t) |
H ( f ) 1 e j 2 |
ft df |
представляет собой, образно говоря, «равнодействующую» откликов на все такие функции.
Заметим, что указанные измерения КЧХ и импульсной характеристики на практике точно выполнить нельзя. Даже если бы существовали абсолютно точные измерительные приборы, потребо-
валось бы бесконечное время для генерирования функций e j 2 ft
(нельзя забывать, что они определены на всей временнóй оси!) и измерения отношений выходных сигналов к входным с бесконечной
точностью при всех значениях частоты f . В свою очередь, -функ-
ция представляет собой «бесконечно короткий импульс бесконечно большой амплитуды», который также не может быть реализован точно. На практике КЧХ и импульсная характеристика ЛИС-цепи могут быть измерены приближенно с помощью отрезков гармонических испытательных сигналов конечной продолжительности и коротких импульсов большой (но конечной) амплитуды.
![](/html/2706/180/html_PiNyett_uh.tG3b/htmlconvd-YkZBG863x1.jpg)
2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье |
65 |
Часто в выражениях, связанных со спектральным анализом сигналов и ЛИС-цепей, вместо частоты f используется круговая
частота 2 f . Пара (2.18) – (2.19) преобразований Фурье в результате замены переменных принимает вид
|
|
|
|
|
|
H ( ) h(t)e j t dt , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
j t |
|
|
h(t) |
|
|
H ( )e |
|
d . |
2 |
|
||||
|
|
|
|
2.10. РЯД ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Как было показано выше, гармонические функции e j 2 ft иг-
рают исключительно важную роль в анализе цепей, как собственные функции любого линейного стационарного оператора. Благодаря этому среди всех базисов пространств сигналов, применяемых в теории и практике, базис Фурье получил наибольшее распространение и заслуживает более детального изучения.
2.10.1.РЯД ФУРЬЕ, ЕГО ФОРМЫ, СВОЙСТВА СПЕКТРОВ
Для пространства сигналов конечной длительности и огра-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
j |
2 |
kt |
|
|
ниченной энергии L (T) |
ортонормальный |
базис |
|
|
e |
T |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
|
является полным, |
следовательно, всякий |
|
сигнал |
||||||||||||||||||
, |
|
|||||||||||||||||||||||
x(t) L2(T) |
можно на интервале |
|
T / 2, T / 2 |
представить обоб- |
||||||||||||||||||||
щенным рядом Фурье по ортонормальным функциям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x(t) |
|
|
|
e j T |
|
kt |
|
|
|
|
(2.38) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
k k |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или рядом Фурье по ортогональным функциям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
2 |
kt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) C e |
|
|
. |
|
|
|
|
(2.39) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/2706/180/html_PiNyett_uh.tG3b/htmlconvd-YkZBG864x1.jpg)
66 |
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ |
Спектральные коэффициенты для этих рядов определяются выражениями
|
|
1 |
|
|
T / 2 |
|
|
j |
2 |
kt dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k |
|
|
|
x(t)e |
|
|
T |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
T T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
T / 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
Ck |
|
|
|
x(t)e |
|
j |
T |
|
kt dt . |
|||||
T |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Для ряда (2.38) справедливо равенство Парсеваля
T / 2 |
x(t) |
|
2 dt |
|
|
2 . |
|
|
|
k |
|||
T / 2 |
|
|
|
k |
|
|
(2.40)
(2.41)
Для ряда (2.39) выполняется равенство
T / 2 |
|
2 dt T |
|
|
2 . |
|
|
x(t) |
|
C |
k |
||
T / 2 |
|
k |
|
|
|
|
До сих пор базисные функции рассматривались на конечном |
||||||
временнóм интервале T / 2, T / 2 . |
Нетрудно видеть, что эти |
функции могут рассматриваться и вне этого интервала, т.е. на всей
бесконечной |
временнóй оси. Поскольку все функции |
|||||||
|
j |
2 |
kt |
|
|
|
|
|
e |
|
T |
|
, k , |
периодичны, причем для их периодов величина |
T – наименьшее общее кратное, ряды (2.38) и (2.39), рассматриваемые на всей временнóй оси, определяют периодическую функ-
цию, которая представляет собой сигнал x(t) , повторяющийся с
периодом T .
Таким образом, ряд Фурье одинаково пригоден для представления сигналов конечной длительности и периодических сигналов.
Коэффициенты в обоих случаях находятся по формулам (2.40) или (2.41). Далее будет рассматриваться комплексный ряд Фурье в
форме (2.39).
Коэффициенты ряда Фурье (2.39) даже для вещественного сигнала в общем случае являются комплексными. Для удобства графического представления рассматривают отдельно модули и аргу-
менты коэффициентов |
C |
|
C |
k |
|
e j |
k , при этом |
совокупность |
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ck |
|
, k |
|
|
называется |
|
|
амплитудным |
спектром, а |
||||
|
|
, |
|
|
![](/html/2706/180/html_PiNyett_uh.tG3b/htmlconvd-YkZBG865x1.jpg)
2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье |
67 |
k , k , – фазовым спектром сигнала. Для наглядности
амплитудный и фазовый спектр изображают решетчатыми спектральными диаграммами, на которых соответствующие величины показаны длинами отрезков, а сами эти отрезки размещены на частотной оси с шагом, равным в выбранном масштабе частоте повто-
рения сигнала F 1T (рис. 2.22).
С
|
|
|
С–1 |
С1 |
|
|
|
–4 |
–3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
С–2 |
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
–2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|||||||
С–4 С–3 |
|
|
|
|
С3 С4 |
|
|
|
|
|
|
|
F |
2F 3F 4F |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–4F –3F–2F –F 0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–4F –3F–2F –F 0 F 2F 3F 4F |
f |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.22. Амплитудная и фазовая спектральные диаграммы вещественного сигнала
Если сигнал x(t) принимает вещественные значения, ампли-
тудный спектр обладает свойством четности, а фазовый – свойством нечетности. Действительно, для произвольного спектрального коэффициента
|
1 |
T / 2 |
|
j |
2 |
kt dt |
|
|
|||||
Ck |
x(t)e |
|
T |
|||
T |
|
|
||||
|
T / 2 |
|
|
|
|
с учетом вещественности сигнала x*(t) x(t) и
|
1 |
T / 2 |
|
j 2 kt |
|
|
|
1 |
T / 2 |
j |
2 |
kt |
* |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
C k |
|
|
|
x(t)e |
T |
dt |
|
|
|
x(t)e |
|
T |
|
dt |
|
Ck . |
|
T |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
T / 2 |
|
|
|
|
T |
T / 2 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, коэффициенты комплексного ряда Фурье ве-
щественного сигнала попарно комплексно сопряжены. Пользуясь этим свойством, для вещественных сигналов можно получить дру-
гую форму ряда Фурье, также находящую применение. Просуммируем пару базисных функций с номерами (индексами)
k и ( k) с учетом соответствующих спектральных коэффициентов:
Ck e j 2T kt C k e j 2T kt Ck e j 2T kt Ck*e j 2T kt
![](/html/2706/180/html_PiNyett_uh.tG3b/htmlconvd-YkZBG866x1.jpg)
68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ |
||||||||
|
|
|
e j |
|
j |
2 |
kt |
|
|
|
|
|
|
j |
|
j |
2 |
kt |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
C |
|
k e |
T |
|
|
C |
|
e |
|
k e |
T |
|
|
C |
kt |
. (2.42) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
cos |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
T |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда ряд Фурье (2.39) можно записать в тригонометрической форме
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) A |
kt |
, |
(2.43) |
||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
T |
|||||||
|
|
|
|
|
k 0 |
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
Ck |
|
, |
k 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C0 , |
k 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
все коэффициенты Ak вещественны.
Ещѐ одна форма ряда Фурье для вещественных сигналов основана на разложении по тригонометрическим функциям, образующим ортогональный базис
|
|
|
a |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x(t) |
|
0 |
a |
cos |
|
|
|
kt b |
sin |
|
|
kt |
, |
||||||||
|
T |
|
T |
||||||||||||||||||
|
|
2 |
k |
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со спектральными коэффициентами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
T / 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
x(t)cos |
|
|
kt dt, |
k 0, , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
k |
|
T T / 2 |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
T / 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
x(t)sin |
|
|
|
kt dt, |
k 1, . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
k |
|
|
T |
T / 2 |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сложим с учетом коэффициентов две функции этого базиса, имеющие одинаковую частоту, и воспользуемся формулой Эйлера:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 2 |
|
kt |
|
j |
2 |
|
kt |
|
|
|
|
|
j 2 |
kt |
|
j |
2 |
kt |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
e |
e |
|
||||||||||||
a |
cos |
kt |
b sin |
|
kt a |
|
|
T |
|
|
|
T |
b |
|
T |
|
|
T |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
k |
|
T |
|
|
k |
|
T |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
2 j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a jb |
|
j |
2 |
kt |
|
|
|
a jb |
j |
2 |
kt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
e |
|
|
T |
|
|
|
k |
|
k |
e |
|
T |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Сравнивая полученное выражение с выражениями (2.42), ви- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дим, что |
C |
|
|
ak |
jbk |
, а |
|
C |
k |
|
ak jbk |
, |
откуда следуют связи |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/2706/180/html_PiNyett_uh.tG3b/htmlconvd-YkZBG867x1.jpg)
2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье |
69 |
между спектральными коэффициентами для различных форм ряда Фурье:
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
Ck |
|
|
k |
k |
|
, |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A a0 |
|
|||||
a2 |
b2 |
, |
, |
||||||||
k |
k |
|
k |
|
|
0 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C0 a20 ,
k arctg bk . ak
Очевидно, если сигнал представляет собой четную функцию, то все синусоидальные компоненты ряда равны 0; аналогично, все косинусоидальные компоненты равны нулю, если сигнал – нечетная функция (при этом равна нулю и постоянная составляющая).
Пример 2.19. Периодическая с периодом T последовательность прямоугольных импульсов амплитуды U и длительности и
показана на рис. 2.23.
Спектральные коэффициенты комплексного ряда Фурье находятся как
|
1 |
T / 2 |
|
|
j |
2 |
kt dt |
1 |
и / 2 |
|
2 |
|
|
|
U и |
sin k |
и / 2 , |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
C |
|
x(t)e |
|
T |
|
U cos |
kt |
dt |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
k |
T T / 2 |
|
|
|
|
|
T и / 2 |
|
T |
|
|
|
T |
|
k |
и / 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где введено обозначение круговой частоты |
|
2 |
|
2 F . Таким |
|||||||||||||||
T |
образом, диаграмма амплитудного спектра сигнала, показанная на
рис. 2.24, имеет огибающую в форме известной функции вида sinx x . Заметим, что все коэффициенты Ck оказались вещественными, так что фазовый спектр равен нулю для всех k . Значение
постоянной составляющей сигнала C0 UT и Uq , где q T
и –
параметр импульсной последовательности, называемый скважно-
стью.
|
|
u(t) |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
U |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
–2Т |
–Т |
|
и |
Т |
2Т t |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.23. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
![](/html/2706/180/html_PiNyett_uh.tG3b/htmlconvd-YkZBG868x1.jpg)
70 |
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.24. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Последовательности прямоугольных импульсов широко применяются в радиотехнике и связи в качестве моделей реальных сигналов, поэтому спектр данного сигнала достоин более внимательного рассмотрения. Прежде всего, обратим внимание, что оги-
бающая спектра впервые пересекает ось частот при |
и |
|
, т.е. |
|||
2 |
|
|||||
|
2 |
|
|
|
||
при |
или при f 1 и . Таким образом, численное значение |
|||||
|
и
скважности прямоугольной импульсной последовательности показывает, во сколько раз полуширина главного лепестка огибающей
спектра больше шага F 1T следования по оси частот спектраль-
ных составляющих.
Конечная сумма ряда Фурье может служить аппроксимацией сигнала. На рис. 2.25 показаны конечные суммы комплексного ряда Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов при числе слагаемых 5, 11 и 25. Видно, что аппроксимация становится точнее с ростом количества слагаемых. Ошибка аппроксимации при удержании в сумме 2N 1 слагаемых (от N -го
до N -го) может быть найдена на основе равенства Парсеваля как
|
2 T |
N 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
N |
|
2 |
|
|
|
|
C |
k |
T |
|
C |
k |
T |
|
C |
k |
T |
|
C |
k |
. ◄ |
|||||
|
|
k |
|
|
|
|
k N 1 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k N |
|
|
|
|
При увеличении числа слагаемых ряда Фурье ошибка аппроксимации периодического сигнала стремится к нулю по норме про-
странства L2(T) , т.е.
|
2 |
|
T / 2 |
|
2 |
dt 0 . |
(2.44) |
|
|
||||||
|
|
|
|
x(t) x |
(t) |
T / 2
![](/html/2706/180/html_PiNyett_uh.tG3b/htmlconvd-YkZBG869x1.jpg)
2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье |
|
|
|
71 |
|
|
|
x(t) |
|
|
|
–2Т |
–Т |
и |
Т |
2Т |
t |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
–2Т |
–Т |
и |
Т |
2Т |
t |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
–2Т |
–Т |
и |
Т |
2Т t |
|
|
2 |
|
|
Рис. 2.25. Аппроксимация периодической последовательности, показанной на рис. 2.23, суммой 5, 11 и 25 членов ряда Фурье
Здесь x(t) – аппроксимация сигнала x(t) . При этом максимальное
значение разности стремится не к нулю, а к конечной величине (порядка 9 % от амплитуды импульса). Это явление известно как явление Гиббса32. Причиной явления Гиббса является неравномер-
ная сходимость33 ряда Фурье для разрывных функций. При равномерной сходимости предел последовательности непрерывных
функций, каковыми являются конечные суммы ряда Фурье, сам должен быть непрерывной функцией; в рассматриваемом же примере пределом является разрывная (скачкообразная) функция. В некоторых практических задачах таких, как синтез цифровых
фильтров, явление Гиббса нежелательно; существуют методы уменьшения гиббсовских пульсаций (осцилляций), основанные на
коррекции коэффициентов ряда Фурье [5].
32Джосайя Уиллард Гиббс (1839–1903) – выдающийся американский физик, один из основателей статистической физики.
33Сходимость, описываемая выражением (2.44), называется среднеквадратической.
![](/html/2706/180/html_PiNyett_uh.tG3b/htmlconvd-YkZBG870x1.jpg)
72 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
2.10.2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Ряд Фурье представляет собой удобный инструмент анализа сигналов, заданных на конечном временном интервале, а также периодических колебаний, так как позволяет заменить несчетное множество (континуум) значений аналогового сигнала счетным
множеством |
спектральных коэффициентов. |
Базис Фурье |
||||||||
|
j |
2 |
kt |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
T |
|
, k , |
полон в пространстве |
L (T) , |
поэтому любой |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
сигнал из L2(T) можно сколь угодно точно аппроксимировать конечной суммой ряда Фурье, выбрав достаточно большое число слагаемых. Среди всех полных в L2(T) базисов базис Фурье имеет то
преимущество, что он составлен из функций, собственных для любого ЛИС-оператора. Это максимально упрощает анализ воздействия периодических сигналов на ЛИС-цепи.
Для пространства L2( , ) |
сигналов ограниченной энергии, |
|||||||
|
|
j |
2 |
kt |
|
|
|
|
заданных на всей временной оси, базис e |
|
T |
|
, k , |
не явля- |
ется полным ни при каком T и, следовательно, непригоден для представления сигналов, так как ошибку аппроксимации нельзя в общем случае сделать произвольно малой путем учета достаточного числа слагаемых ряда Фурье. В самом деле, если сигнал имеет бесконечную длительность и конечную энергию, т.е. принадлежит
пространству L2 ( , ) , то он должен убывать при стремлении
t , и притом достаточно быстро. При любом выборе T ряд Фурье для такого сигнала определяет периодическую функцию, которая может совпадать с заданным сигналом только на интервале длительности T , а за его пределами неизбежно будет отличаться от него. Более того, периодическая функция всегда имеет бесконечную энергию, поэтому и ошибка аппроксимации при любом T будет иметь бесконечную норму. Это и означает неполноту счет-
ного базиса Фурье в L2 ( , ) 34. Итак, единственным способом использовать комплексные экспоненты в качестве базисных функ-
34 Напомним, что в |
L ( , ) |
существуют полные ортонормальные счетные |
|
2 |
|
базисы (например, базис, составленный из функций Эрмита [3]), но они, к сожалению, не являются собственными для ЛИС-цепей.