Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

Это выражение носит название обобщенной формулы Рэлея. Значение этих равенств состоит в возможности оперировать вместо сигналов коэффициентами их представления в полных ортонормальных базисах (спектрами), даже не интересуясь конкретным видом базиса.

Обобщенный ряд Фурье (ОРФ), представляющий сигнал из бесконечномерного пространства L , содержит в общем случае

бесконечно много слагаемых. Часто на практике приходится рас-

сматривать усеченный ряд, сумма x которого аппроксимирует

данный сигнал x :

пространств (например, трехмерное евклидово пространство можно представить прямой суммой плоскости и прямой, ортогональной этой плоскости). Очевидно,

которое означает, что при аппроксимации сигнала конечной суммой обобщенного ряда Фурье энергия аппроксимирующего сигнала не может превзойти энергию аппроксимируемого сигнала. Равенство возможно только в том случае, если сам сигнал

принадлежит подпространству LK .

С увеличением размерности подпространства LK , т.е. с увели-

чением числа слагаемых, входящих в конечную сумму обобщенного ряда Фурье, норма ошибки стремится к нулю (в этом и состоит практический смысл требования полноты базиса). Таким образом, располагая полным ортонормальным базисом, можно обеспечить сколь угодно точную аппроксимацию сигнала суммой конечного числа наперед заданных функций с соответствующими весовыми коэффициентами; при этом гарантируется, что при заданном числе слагаемых ошибка аппроксимации будет минимальной.

Пример 2.10. Прямоугольный импульс длительности и и амплитуды A , изображенный на рис. 2.10, на интервале ( T / 2, T / 2) ,

T и, можно представить рядом (2.9) с коэффициентами, найденными согласно выражению

Диаграмма, отображающая спектр прямоугольного импульса относительно ортонормального базиса Фурье, приведена на рис. 2.11. Аппроксимации прямоугольного импульса, полученные

Пример 2.11. Базис, составленный из функций Уолша, является ортонормальным полным базисом для L2 ( 1/ 2,1/ 2) . Графики че-

тырѐх первых функций Уолша относительно нормированного времени t /T показаны на рис. 2.13. Функции Уолша привлекли

Зная спектральные коэффициенты и базисные функции, можно восстановить сигнал, т.е. выполнить его синтез согласно рис. 2.15. Разложение сигналов относительно неортогонального базиса также возможно, но оно сложнее и его результаты труднее интерпретировать.

Существует алгоритм, называемый процедурой Грама – Шмидта22, позволяющий по имеющемуся набору линейно независимых функций (векторов) построить ортонормальный базис.

Пусть vk , k 1, – совокупность линейно независимых векторов, на основе которой требуется построить ортонормальный базис. Введем обозначение wk , k 1, для вспомогательной со-

вокупности векторов, а также обозначение uk , k 1, для орто-

нормального базиса, который получается в результате выполнения

следующих шагов:

1) первый вспомогательный вектор приравнивается первому вектору исходного линейно независимого базиса w1 v1 ; первый

22Йорген Грам (1850 – 1916) – датский математик, известен исследованиями в области математической статистики, теории чисел, теории приближения функций рядами; Эрхард Шмидт (1876 – 1959) – немецкий математик, известен результатами исследований в области интегральных уравнений и функционального анализа.

применения процедуры Грама – Шмидта получается ортонормальный базис, состоящий из четырех функций, показанных на рис. 2.16. Это известные полиномы Лежандра, нормированные к

единице по норме пространства L2( 1,1) . ◄

Очевидно, в пространствах аналоговых и дискретных сигналов можно построить бесконечно много ортонормальных базисов. Выбор наиболее подходящего базиса определяется конкретной решаемой задачей.

2.6.НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

Обобщенный ряд Фурье представляет сигнал в виде взвешенной суммы счетного23 множества базисных функций. Иногда счетный базис неудобен или не годится для описания сигнала. Напри-

мер, счетный базис Фурье, полный в L2(T) , не полон в L2( , )

и поэтому непригоден для представления сигналов бесконечной длительности. С другой стороны, известные полные в L2( , )

счетные базисы не обладают теми привлекательными свойствами, которые обусловили широкое применение базиса Фурье в теории и практике и о которых далее будет сказано подробно (см. разд. 2.9).

Гармонические функции, аналогичные функциям базиса Фурье, могут применяться для представления сигналов из L2( , ) , но

для этого мощность их множества должна быть больше мощности счетного множества (иначе говоря, множество должно быть непрерывным).

Таким образом, понятие обобщенного ряда Фурье подвергается дальнейшему обобщению. Суть этого обобщения заключается в замене суммы бесконечного счетного множества базисных функций, умноженных на спектральные коэффициенты, интегралом от функции двух переменных (которая представляет собой «несчетное множество» базисных функций), умноженной на функцию одной переменной, называемой спектральной плотностью.

Ниже приведены попарно термины и формулы, соответствующие дискретному и непрерывному (интегральному) представлениям аналоговых сигналов.

23Элементы счетного множества могут быть пронумерованы, т.е. поставлены в соответствие элементам множества целых неотрицательных чисел.

Таким образом, интегральное представление имеет много общего с обобщенным рядом Фурье.

Пример 2.13. Для представления сигналов из пространства

(аналогично доказывается и второе условие самосопряженности). Поэтому спектральная плотность сигнала x(t) относительно

данного ядра, которую обозначим X ( f ) , определяется выражением

известным как преобразование Фурье; формула интегрального представления сигнала

называется обратным преобразованием Фурье. ◄

Запишем скалярное произведение двух сигналов x(t) и y(t) ,

выразив сигналы через спектральные плотности при помощи обратного преобразования Фурье:

для интегрального представления сигналов относительно базисно-

го ядра Фурье e j 2 ft . Аналогичное выражение будет справедливо

для интегрального представления сигналов относительно любого самосопряженного ядра.

Симметричная форма левых и правых частей выражений (2.20) и (2.21) должна наводить на мысль, что «естественное» временнóе представление сигнала есть на самом деле представление относительно некоторого самосопряженного ядра. Справедливость такого утверждения устанавливается в следующем примере.

u(t, ) (t ) (вместо переменной s использовано обозначение

задержки буквой ). Это ядро является самосопряженным [2]. Поэтому спектральная плотность сигнала x(t) относительно данного

ядра определяется выражением

а интегральное представление сигнала задается формулой

Полученное выражение, описывающее стробирующее свойство -функции и совпадающее с динамическим представлением сиг-

нала (2.4), явно демонстрирует тот факт, что обычное временнóе представление сигнала можно рассматривать как интегральное (спектральное) представление относительно базисного ядра

u(t, ) (t ) со спектральной плотностью x( ) . Иными словами, временная функция x( ) , описывающая сигнал, есть не что