Васюков В_Н_ Теория электрической связи_
.pdf5.2. Нелинейные элементы и их аппроксимации |
|
153 |
Очевидно, при u 0 значение тока равно |
f (0) Ae0 |
A . Та- |
ким образом, значение константы A определяется непосредственно по заданной ВАХ, как значение тока при нулевом напряжении. Для нахождения константы воспользуемся методом приведения
к линейному виду. Прологарифмировав отношение i / A , получим
ln |
i |
u . |
(5.11) |
|
A |
||||
|
|
|
По имеющейся заданной ВАХ можно построить график зависимости левой части выражения (5.11) от напряжения при различных u . Если экспоненциальная аппроксимация является подходящей для данной ВАХ, полученный график оказывается практически линейным, а константа представляет собой тангенс
угла наклона графика (или хотя бы касательной к нему в рабочей точке).
Для полупроводниковых диодов характерно нулевое значение тока при нулевом напряжении. Тогда аппроксимация (5.10) неприемлема, и взамен применяют аппроксимацию вида
i f (u) I0 (e u 1) ,
где I0 f (u) |
|
u – обратный ток диода. Константа |
находится |
|
|||
|
|
||
аналогично описанному выше случаю. |
|
5.2.3. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
Эта аппроксимация заключается в замене реальной характеристики набором отрезков прямых линий, которые в совокупности приближенно повторяют форму ВАХ. Наибольшее распространение получила аппроксимация вида
0, |
u Uн , |
i |
u Uн , |
S(u Uн ), |
где Uн – значение напряжения, соответствующее началу линейно растущего участка, S – крутизна линейной части ВАХ.
154 |
5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ |
5.3. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ НА НЭ
5.3.1.ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕНИЯ НА НЭ С ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
Рассмотрим НЭ с вольт-амперной характеристикой, аппроксимируемой степенным полиномом
i a0 a1(u U0 ) a2 (u U0 )2... aN (u U0 )N ,
на который воздействует напряжение вида u(t) U0 Um cos t ,
гармоническое относительно рабочей точки, определяемой постоянным напряжением U0 .
Подставляя выражение напряжения в ВАХ и раскрывая степени и произведения тригонометрических функций, получим
i(t) I0 I1 cos |
|
t I2 cos2 |
t ... IN cos N |
t , |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
a |
|
1 a U 2 |
3 a U 4 |
... , |
|
|||
|
0 |
0 |
|
|
2 |
2 m |
8 |
4 m |
|
|
I a U |
|
|
|
3 a U |
3 |
5 a U |
5 ... , |
(5.12) |
||
1 |
|
1 |
m |
|
4 3 m |
8 5 |
m |
|
I2 12 a2Um2 18 a4Um4 ... ,
I3 14 a3Um3 165 a5Um5 ... и т.д.
Таким образом, спектр тока НЭ при гармоническом воздействии содержит кратные гармоники (гармонические составляющие с
частотами n при n 0,1, 2, ..., N ).
Если ток НЭ протекает через частотно-избирательную нагрузку (фильтр), то напряжение на нагрузке определяется теми составляющими, для которых нагрузка представляет значительное сопротивление. Например, включая последовательно с НЭ параллельный
5.3. Воздействие гармонических колебаний на НЭ |
155 |
колебательный контур, настроенный на вторую (третью, четвертую и т.д.) гармонику, получаем на нагрузке гармоническое напряже-
ние кратной (двойной, тройной и т.д.) частоты. Таким образом реализуется умножение частоты на 2 (3, 4 …). Нередко применяют
нелинейный активный элемент (транзистор) с нагрузкой в виде параллельного колебательного контура, настроенного на основную гармонику ; таким образом осуществляется нелинейное (резонансное) усиление узкополосных сигналов (достоинством таких нелинейных усилителей является их высокий коэффициент полез-
ного действия). Зависимость In (Um ) амплитуды полезной гармо-
ники тока от амплитуды входного гармонического напряжения на-
зывается колебательной характеристикой.
В таких случаях рассматривают ВАХ как линеаризованную зависимость, т. е. как линейную функцию, крутизна которой определяется относительно соответствующей гармоники и называется средней крутизной. Ввиду того, что функция линейна, ее крутизна равна просто отношению амплитуды выбранной гармоники тока к амплитуде воздействующего гармонического напряжения. Средняя крутизна в общем случае зависит от входного напряжения нелинейным образом. Очевидно, что средняя крутизна, например, по 1-й гармонике определяется из (5.12) как
Sср1 a1 34 a3Um2 85 a5Um4 ....
5.3.2.ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕНИЯ НА НЭ С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ ВАХ
При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ нелинейного элемента протекающий через него ток представляется импульсами, описываемыми отрезками гармонической функции (рис. 5.5). Примем для определенности, что приложенное напряжение описывается выражением
u(t) U0 Um cos t ,
тогда ток будет протекать через НЭ только в пределах временны´ х интервалов, определяемых неравенством
U0 Um cos |
t Uн . |
156 |
5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ |
i |
i( t) |
|
I max |
U0 |
Uн |
I |
U |
|
|
|
0 |
t |
|
U(t) |
|
t |
|
|
Рис. 5.5. К определению угла отсечки
Величину интервала протекания тока принято характеризовать углом (углом отсечки), определяемым следующим из этого ус-
ловия уравнением
U0 Um cos Uн ,
или |
|
||
cos |
Uн U0 |
. |
(5.13) |
|
|||
|
Um |
|
Обозначим максимальное значение тока Imax , а буквой I обо-
значим амплитудное значение тока, который протекал бы через нелинейный элемент, если бы его характеристика была линейной и
описывалась функцией i S(u Uн ) . Тогда, очевидно,
Imax I(1 cos |
) , |
|
(5.14) |
||
а ток в пределах угла отсечки |
|
|
|
|
|
i(t) Imax |
cos |
t cos |
. |
(5.15) |
|
|
|
||||
|
1 cos |
|
|
|
|
Разлагая его (на интервале от |
до |
), как четную функцию, в |
|||
ряд Фурье |
|
|
|
|
|
i(t) I0 I1 cos t I2 cos2 t I3 cos3 |
t ... , |
5.3. Воздействие гармонических колебаний на НЭ |
|
|
|
|
157 |
|||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 |
|
1 |
Imax |
cos t cos |
d t Imax 0 ( |
|
) , |
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I 1 |
|
I |
max |
|
cos |
t cos |
|
cos |
t d |
t I |
max |
1 |
( |
) , |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
In 1 Imax |
cos |
t cos |
|
cosn |
t d |
t Imax |
n ( |
) . |
||||||||
|
1 cos |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты пропорциональности, связывающие макси-
мальное значение импульса тока с амплитудами гармоник тока, зависят от угла отсечки и называются функциями Берга (коэффи-
циентами Берга)69. Функции Берга можно рассчитать по формулам
a ( |
) |
sin |
cos |
, |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
(1 |
cos ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a ( |
) |
|
sin cos |
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
(1 |
cos ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a ( ) |
2 sin n |
cos |
ncosn |
sin |
. |
|||
|
|
|
|
|
||||
n |
n(n2 1)(1 cos |
) |
|
|||||
|
|
|
Несколько первых функций Берга показаны на рис. 5.6, а. Видно, что, выбирая значение угла отсечки (путем соответствующего
задания Um и U0 ), можно добиться максимума нужной гармоники
в спектре тока. Такой оптимальный угол отсечки для n-й гармоники определяется выражением
opt |
120 |
. |
(5.16) |
|
|||
|
n |
|
Учитывая (5.14) и (5.15), можно записать ток в пределах угла отсечки в виде
i(t) I(cos |
t cos ) SUm(cos |
t cos ) , |
69Аксель Иванович Берг (1892–1979) – известный русский ученый в области радиотехники, академик.
158 |
|
5. |
ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ |
||
0,6 |
|
|
|
1,1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
0,7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0,2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
0,3 |
|
0 |
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
||
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
4 |
|
0 |
/2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
/2 |
||
|
а |
|
|
|
б |
|
|
|
Рис. 5.6. Функции Берга |
|
тогда амплитуда n-й гармонической составляющей тока
In SUm n ( ) ,
где
n ( ) (1 cos ) n ( ) ,
представляет собой коэффициент пропорциональности между I и In . Функции n ( ) , показанные на (рис. 5.6, б), также носят назва-
ние функций Берга. Максимума n -я функция достигает при |
|
|||
opt |
|
180 |
. |
(5.17) |
|
||||
|
|
n |
|
Выбор формулы для нахождения оптимального угла отсечки определяется решаемой задачей. Если проектируется мощный усилитель или умножитель частоты, когда задан максимальный ток, обусловленный требованиями максимальной рассеиваемой мощности или электрической прочности устройства, и изменять угол от-
сечки можно изменением U0 и Um , поддерживая заданное значение Imax , следует пользоваться формулой (5.16); если задано
амплитудное значение входного напряжения, что характерно для маломощных каскадов, и можно для выбора угла отсечки опериро-
вать только смещением U0 , справедлива формула (5.17).
5.3. Воздействие гармонических колебаний на НЭ |
159 |
5.3.3. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НЭ
Рассмотрим теперь воздействие на НЭ с вольт-амперной ха-
рактеристикой, аппроксимируемой степенным полиномом, бигармонического напряжения вида
u(t) U0 Um1 cos( |
1t |
1) Um2 cos( |
2t 2) . |
Подставляя это выражение в ВАХ и раскрывая степени суммы гармонических функций по формуле бинома Ньютона
k |
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
(a b)k Cmak mbm , Cm k |
|
|
, |
||||||
m!(k m)! |
|||||||||
m 0 |
k |
k |
m |
|
|
находим, что в спектре тока будут присутствовать комбинационные частоты вида
n1 1 n2 2 |
|
, |
(5.18) |
|
где n1 и n2 – целые числа (положительные, отрицательные или 0), причем порядок комбинационной частоты n1 n2 ограничивается
порядком полинома, аппроксимирующего ВАХ: n1 n2 N .
Наличие комбинационных частот позволяет использовать НЭ для переноса спектра колебаний.
5.3.4.НЕЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
ВКАЧЕСТВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО
Вподавляющем большинстве случаев на практике в качестве параметрических элементов используются элементы нелинейные, при этом должны выполняться определенные условия.
Предположим, что на НЭ подается, кроме постоянного напряжения для выбора рабочей точки, сумма двух гармонических сиг-
налов u(t) U1 cos 1t U2 cos 2t , причем один из них имеет настолько малую амплитуду (например, U1 ), что изменение
напряжения за счет первого слагаемого происходит на участке ВАХ, который можно считать приближенно линейным, а второй сигнал большой амплитуды смещает рабочую точку и изменяет крутизну этого линейного участка.
Таким образом, при воздействии на НЭ сильного и слабого сигналов элемент ведет себя по отношению к слабому сигналу как
160 |
5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ |
линейный параметрический элемент, управляемый по крутизне
сильным сигналом.
Пример 5.1. Принцип действия супергетеродинного приемника
основан на преобразовании частоты, т.е. переносе спектра модули-
рованного колебания из окрестности несущей частоты в окрестность так называемой промежуточной частоты без изменения
формы модулирующего сигнала. Модулированный сигнал можно рассматривать как узкополосный, не конкретизируя вид модуляции
(см. разд. 2):
x(t) A(t)cos |
0t (t) A(t)cos (t) . |
Полагая модулированный сигнал слабым, рассмотрим его воздействие на нелинейный элемент с квадратичной ВАХ, управляемый по крутизне сильным опорным колебанием, так что крутизна меняется по закону
S(t) S0 Sm cos гt ,
где г – частота гетеродина (генератора опорного колебания), Sm – максимальное отклонение крутизны от среднего значения S0 . Ток, протекающий через нелинейный элемент
|
|
i(t) A(t)cos |
|
0t |
(t) S0 |
Sm cos |
гt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A(t)S0 cos |
0t |
|
(t) A(t)Sm cos |
0t |
(t) cos |
|
|
гt |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
A(t)S0 cos 0t |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A(t)Sm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(t)Sm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos |
0 |
|
г |
|
t |
|
(t) |
2 |
|
cos |
0 |
|
г |
|
t |
|
(t) |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
содержит две составляющие, совпадающие по форме с исходным модулированным сигналом с точностью до константы Sm / 2 и не-
сущих частот, равных соответственно |
0 г и |
0 г . |
Выделив |
одну из составляющих с помощью полосового фильтра, |
получим |
сигнал, перенесенный без изменения закона модуляции на проме-
жуточную частоту70 |
пр |
0 г (или |
пр |
0 |
г ). Преиму- |
щество супергетеродинного |
приемника |
состоит |
в |
том, что на- |
70В зависимости от выбора промежуточной частоты (выше или ниже несущей частоты сигнала) различают преобразование частоты вверх и преобразование частоты вниз (во втором случае супергетеродинный приемник называют также инфрадинным).
5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика |
161 |
стройка на нужный частотный канал осуществляется путем изме-
нения частоты гетеродина, а это значительно проще, чем перестраивать полосовой фильтр – входную цепь приемника прямого
усиления. Основная частотная селекция, обеспечивающая избира-
тельность по соседнему каналу, осуществляется полосовым фильтром сосредоточенной селекции, для которого сравнительно
просто обеспечиваются хорошие частотно-избирательные свойства благодаря тому, что он не нуждается в перестройке. ◄
Если условие слабости модулированного сигнала нарушено, то преобразовательный элемент следует рассматривать как нелиней-
ный, при этом комбинационные частоты второго порядка |
0 г |
|
и |
0 г определяются четной частью ВАХ. Если ВАХ аппрок- |
|
симируется полиномом четвертой степени (или более |
высокой |
четной), преобразование частоты сопровождается искажениями закона модуляции [13].
5.4.АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПЕРЕНОСЧИКА
5.4.1.ВРЕМЕННОЕ И СПЕКТРАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ АМ-КОЛЕБАНИЙ
Гармонические переносчики часто используются в радиотехнике и связи по ряду причин, среди которых главная заключается в том, что только гармонические колебания не изменяют формы при прохождении через линейные стационарные цепи и каналы связи. Амплитудная модуляция заключается в изменении амплитуды несущего гармонического колебания
uн (t) Um cos( 0t )
в соответствии с изменениями первичного (информационного) сигнала. Для простоты анализа примем, что первичный сигнал представляет собой гармоническое колебание низкой (в сравнении
с частотой несущего колебания |
0 ) частоты . Это случай так |
|
называемой тональной (однотональной) модуляции. Тогда ампли- |
||
тудно-модулированное колебание (АМК) имеет вид |
||
uАМ (t) U (t)cos( 0t ) Um 1 M cos( t |
) cos( 0t ) , (5.19) |
где M – коэффициент модуляции. На рис. 5.7 показано АМ-коле- бание с коэффициентом модуляции 0,5.
162 |
5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ |
uAM(t)
t
Рис. 5.7. Амплитудно-модулированное колебание
Нетрудно получить выражение для определения коэффициента модуляции по временной диаграмме. Очевидно, огибающая АМК
достигает максимума при условии cos( t |
) 1 и минимума при |
|
cos( t |
) 1 , поэтому |
|
umax Um(1 M) ,
umin Um(1 M) .
Складывая и вычитая эти равенства, получаем систему
umax umin 2Um ,
umax umin 2UmM ,
откуда
Mumax umin . umax umin
Очевидно, величина M должна лежать в интервале от 0 до 1.
При M 1 имеет место искажение огибающей, называемое пере-
модуляцией (рис. 5.8).
uAM(t)
t
Рис. 5.8. Амплитудно-модулированное колебание с перемодуляцией