Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

ким образом, значение константы A определяется непосредственно по заданной ВАХ, как значение тока при нулевом напряжении. Для нахождения константы воспользуемся методом приведения

к линейному виду. Прологарифмировав отношение i / A , получим

По имеющейся заданной ВАХ можно построить график зависимости левой части выражения (5.11) от напряжения при различных u . Если экспоненциальная аппроксимация является подходящей для данной ВАХ, полученный график оказывается практически линейным, а константа представляет собой тангенс

угла наклона графика (или хотя бы касательной к нему в рабочей точке).

Для полупроводниковых диодов характерно нулевое значение тока при нулевом напряжении. Тогда аппроксимация (5.10) неприемлема, и взамен применяют аппроксимацию вида

i f (u) I0 (e u 1) ,

5.2.3. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Эта аппроксимация заключается в замене реальной характеристики набором отрезков прямых линий, которые в совокупности приближенно повторяют форму ВАХ. Наибольшее распространение получила аппроксимация вида

где Uн – значение напряжения, соответствующее началу линейно растущего участка, S – крутизна линейной части ВАХ.

5.3. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ НА НЭ

5.3.1.ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕНИЯ НА НЭ С ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Рассмотрим НЭ с вольт-амперной характеристикой, аппроксимируемой степенным полиномом

i a0 a1(u U0 ) a2 (u U0 )2... aN (u U0 )N ,

на который воздействует напряжение вида u(t) U0 Um cos t ,

гармоническое относительно рабочей точки, определяемой постоянным напряжением U0 .

Подставляя выражение напряжения в ВАХ и раскрывая степени и произведения тригонометрических функций, получим

I2 12 a2Um2 18 a4Um4 ... ,

I3 14 a3Um3 165 a5Um5 ... и т.д.

Таким образом, спектр тока НЭ при гармоническом воздействии содержит кратные гармоники (гармонические составляющие с

частотами n при n 0,1, 2, ..., N ).

Если ток НЭ протекает через частотно-избирательную нагрузку (фильтр), то напряжение на нагрузке определяется теми составляющими, для которых нагрузка представляет значительное сопротивление. Например, включая последовательно с НЭ параллельный

колебательный контур, настроенный на вторую (третью, четвертую и т.д.) гармонику, получаем на нагрузке гармоническое напряже-

ние кратной (двойной, тройной и т.д.) частоты. Таким образом реализуется умножение частоты на 2 (3, 4 …). Нередко применяют

нелинейный активный элемент (транзистор) с нагрузкой в виде параллельного колебательного контура, настроенного на основную гармонику ; таким образом осуществляется нелинейное (резонансное) усиление узкополосных сигналов (достоинством таких нелинейных усилителей является их высокий коэффициент полез-

ного действия). Зависимость In (Um ) амплитуды полезной гармо-

ники тока от амплитуды входного гармонического напряжения на-

зывается колебательной характеристикой.

В таких случаях рассматривают ВАХ как линеаризованную зависимость, т. е. как линейную функцию, крутизна которой определяется относительно соответствующей гармоники и называется средней крутизной. Ввиду того, что функция линейна, ее крутизна равна просто отношению амплитуды выбранной гармоники тока к амплитуде воздействующего гармонического напряжения. Средняя крутизна в общем случае зависит от входного напряжения нелинейным образом. Очевидно, что средняя крутизна, например, по 1-й гармонике определяется из (5.12) как

Sср1 a1 34 a3Um2 85 a5Um4 ....

5.3.2.ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕНИЯ НА НЭ С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ ВАХ

При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ нелинейного элемента протекающий через него ток представляется импульсами, описываемыми отрезками гармонической функции (рис. 5.5). Примем для определенности, что приложенное напряжение описывается выражением

u(t) U0 Um cos t ,

тогда ток будет протекать через НЭ только в пределах временны´ х интервалов, определяемых неравенством

Рис. 5.5. К определению угла отсечки

Величину интервала протекания тока принято характеризовать углом (углом отсечки), определяемым следующим из этого ус-

ловия уравнением

U0 Um cos Uн ,

Обозначим максимальное значение тока Imax , а буквой I обо-

значим амплитудное значение тока, который протекал бы через нелинейный элемент, если бы его характеристика была линейной и

описывалась функцией i S(u Uн ) . Тогда, очевидно,

Коэффициенты пропорциональности, связывающие макси-

мальное значение импульса тока с амплитудами гармоник тока, зависят от угла отсечки и называются функциями Берга (коэффи-

циентами Берга)69. Функции Берга можно рассчитать по формулам

Несколько первых функций Берга показаны на рис. 5.6, а. Видно, что, выбирая значение угла отсечки (путем соответствующего

задания Um и U0 ), можно добиться максимума нужной гармоники

в спектре тока. Такой оптимальный угол отсечки для n-й гармоники определяется выражением

Учитывая (5.14) и (5.15), можно записать ток в пределах угла отсечки в виде

69Аксель Иванович Берг (1892–1979) – известный русский ученый в области радиотехники, академик.

тогда амплитуда n-й гармонической составляющей тока

In SUm n ( ) ,

где

n ( ) (1 cos ) n ( ) ,

представляет собой коэффициент пропорциональности между I и In . Функции n ( ) , показанные на (рис. 5.6, б), также носят назва-

Выбор формулы для нахождения оптимального угла отсечки определяется решаемой задачей. Если проектируется мощный усилитель или умножитель частоты, когда задан максимальный ток, обусловленный требованиями максимальной рассеиваемой мощности или электрической прочности устройства, и изменять угол от-

сечки можно изменением U0 и Um , поддерживая заданное значение Imax , следует пользоваться формулой (5.16); если задано

амплитудное значение входного напряжения, что характерно для маломощных каскадов, и можно для выбора угла отсечки опериро-

вать только смещением U0 , справедлива формула (5.17).

5.3.3. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НЭ

Рассмотрим теперь воздействие на НЭ с вольт-амперной ха-

рактеристикой, аппроксимируемой степенным полиномом, бигармонического напряжения вида

Подставляя это выражение в ВАХ и раскрывая степени суммы гармонических функций по формуле бинома Ньютона

находим, что в спектре тока будут присутствовать комбинационные частоты вида

где n1 и n2 – целые числа (положительные, отрицательные или 0), причем порядок комбинационной частоты n1 n2 ограничивается

порядком полинома, аппроксимирующего ВАХ: n1 n2 N .

Наличие комбинационных частот позволяет использовать НЭ для переноса спектра колебаний.

5.3.4.НЕЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

ВКАЧЕСТВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО

Вподавляющем большинстве случаев на практике в качестве параметрических элементов используются элементы нелинейные, при этом должны выполняться определенные условия.

Предположим, что на НЭ подается, кроме постоянного напряжения для выбора рабочей точки, сумма двух гармонических сиг-

налов u(t) U1 cos 1t U2 cos 2t , причем один из них имеет настолько малую амплитуду (например, U1 ), что изменение

напряжения за счет первого слагаемого происходит на участке ВАХ, который можно считать приближенно линейным, а второй сигнал большой амплитуды смещает рабочую точку и изменяет крутизну этого линейного участка.

Таким образом, при воздействии на НЭ сильного и слабого сигналов элемент ведет себя по отношению к слабому сигналу как

линейный параметрический элемент, управляемый по крутизне

сильным сигналом.

Пример 5.1. Принцип действия супергетеродинного приемника

основан на преобразовании частоты, т.е. переносе спектра модули-

рованного колебания из окрестности несущей частоты в окрестность так называемой промежуточной частоты без изменения

формы модулирующего сигнала. Модулированный сигнал можно рассматривать как узкополосный, не конкретизируя вид модуляции

(см. разд. 2):

Полагая модулированный сигнал слабым, рассмотрим его воздействие на нелинейный элемент с квадратичной ВАХ, управляемый по крутизне сильным опорным колебанием, так что крутизна меняется по закону

S(t) S0 Sm cos гt ,

где г – частота гетеродина (генератора опорного колебания), Sm – максимальное отклонение крутизны от среднего значения S0 . Ток, протекающий через нелинейный элемент

содержит две составляющие, совпадающие по форме с исходным модулированным сигналом с точностью до константы Sm / 2 и не-

сигнал, перенесенный без изменения закона модуляции на проме-

70В зависимости от выбора промежуточной частоты (выше или ниже несущей частоты сигнала) различают преобразование частоты вверх и преобразование частоты вниз (во втором случае супергетеродинный приемник называют также инфрадинным).

стройка на нужный частотный канал осуществляется путем изме-

нения частоты гетеродина, а это значительно проще, чем перестраивать полосовой фильтр – входную цепь приемника прямого

усиления. Основная частотная селекция, обеспечивающая избира-

тельность по соседнему каналу, осуществляется полосовым фильтром сосредоточенной селекции, для которого сравнительно

просто обеспечиваются хорошие частотно-избирательные свойства благодаря тому, что он не нуждается в перестройке. ◄

Если условие слабости модулированного сигнала нарушено, то преобразовательный элемент следует рассматривать как нелиней-

четной), преобразование частоты сопровождается искажениями закона модуляции [13].

5.4.АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПЕРЕНОСЧИКА

5.4.1.ВРЕМЕННОЕ И СПЕКТРАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ АМ-КОЛЕБАНИЙ

Гармонические переносчики часто используются в радиотехнике и связи по ряду причин, среди которых главная заключается в том, что только гармонические колебания не изменяют формы при прохождении через линейные стационарные цепи и каналы связи. Амплитудная модуляция заключается в изменении амплитуды несущего гармонического колебания

uн (t) Um cos( 0t )

в соответствии с изменениями первичного (информационного) сигнала. Для простоты анализа примем, что первичный сигнал представляет собой гармоническое колебание низкой (в сравнении

где M – коэффициент модуляции. На рис. 5.7 показано АМ-коле- бание с коэффициентом модуляции 0,5.

uAM(t)

t

Рис. 5.7. Амплитудно-модулированное колебание

Нетрудно получить выражение для определения коэффициента модуляции по временной диаграмме. Очевидно, огибающая АМК

umax Um(1 M) ,

umin Um(1 M) .

Складывая и вычитая эти равенства, получаем систему

umax umin 2Um ,

umax umin 2UmM ,

откуда

Mumax umin . umax umin

Очевидно, величина M должна лежать в интервале от 0 до 1.

При M 1 имеет место искажение огибающей, называемое пере-

модуляцией (рис. 5.8).

uAM(t)

t

Рис. 5.8. Амплитудно-модулированное колебание с перемодуляцией