Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

Пример 3.6. Белый шум. Так называется стационарный случайный процесс с нулевым средним, имеющий АКФ вида

Rx ( ) N20 ) .

Очевидно, что в этом случае СПМ постоянна на всех частотах от до :

Wx ( f ) N0 / 2 .

(Принято использовать обозначение N0 / 2 для двусторонней СПМ; односторонняя обозначается N0 .)

Легко видеть, что никакой реальный случайный процесс не может быть белым шумом, так как белый шум имеет бесконечную дисперсию (мощность). Кроме того, для белого шума теряет смысл понятие распределения. Однако эта модель чрезвычайно удобна в

анализе вследствие -образности АКФ, поэтому она широко ис-

пользуется.◄ Пример 3.7. Квазибелый шум (шум, белый в ограниченной по-

показанный на рис. 3.7, б. Особенность такого процесса заключается в том, что график его АКФ пересекает ось времени в точках,

кратных 1/ 2Fв . Таким образом, дискретизация квазибелого шума

а б Рис. 3.7. СПМ (а) и АКФ (б) квазибелого шума

124 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

с шагом Td 1/ 2Fв дает последовательность некоррелированных

случайных величин. В частности, если квазибелый шум является гауссовским процессом, то его отсчеты, взятые с шагом Td , оказы-

ваются независимыми, что упрощает анализ (см., например,

разд. 9.3).◄

3.4.ВОЗДЕЙСТВИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЛИС-ЦЕПИ

Рассматривая воздействие стационарного (здесь и далее – в широком смысле) случайного процесса на ЛИС-цепь в рамках кор- реляционно-спектральной теории, достаточно интересоваться только моментами не выше второго порядка. Отсюда следует, что

при воздействии ССП x(t) на ЛИС-цепь с КЧХ H ( f ) и импульсной характеристикой h(t) можно ставить задачу найти среднее значение (математическое ожидание) и АКФ выходного процесса y(t) , а также взаимно корреляционные функции Rxy ( ) и Ryx ( )

процессов x(t) и y(t) .

В задаче анализа ЛИС-цепи при стационарном случайном воздействии в качестве входного процесса обычно рассматривается процесс с нулевым средним. Если математическое ожидание входного процесса (постоянное вследствие стационарности) отлично от

нуля, mx 0, всегда можно рассмотреть прохождение через ЛИС-

цепь постоянной и флюктуационной составляющих отдельно. Очевидно, математическое ожидание выходного процесса

my H (0)mx . Далее полагаем, что на вход цепи с КЧХ H ( f ) воздействует стационарный процесс x(t) с нулевым средним и АКФ

Каждая реализация (t) процесса y(t) получается сверткой реализации (t) процесса x(t) с импульсной характеристикой

ЛИС-цепи, или, что то же самое, обратным преобразованием Фурье произведения КЧХ цепи H ( f ) на спектральную плотность

(Здесь, как и в разд. 3.4, следует иметь в виду, что интеграл в фигурных скобках в классическом смысле расходится.)

Переходя от реализаций к процессам, можно записать

где Y ( f ) – случайная функция частоты (тот же случайный процесс, представленный в другом «базисе»). Заметим, что из x(t) 0

Из последнего выражения следует, что отклик ЛИС-цепи на

стационарный случайный процесс имеет спектральную плотность мощности, равную входной СПМ, умноженной на квадрат модуля

КЧХ (т. е. на квадрат АЧХ) цепи:

Это выражение описывает спектральный метод анализа ЛИС-цепей при случайных стационарных воздействиях.

Поскольку частотные функции в (3.12) умножаются, соответствующие временные функции взаимодействуют путем свертки

Ry ( ) Rh ( ) Rx ( ) .

126 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Здесь временнáя функция Rx ( ) соответствует спектральной плотности мощности Wx ( f ) входного процесса, а

теореме обращения (см. п. 2.10.2) h( t) H ( f ) , а для вещест-

венных функций H( f ) H*( f ) . Умножению частотных функций

в правой части выражения (3.13) соответствует свертка их временных прообразов, поэтому

Rh ( ) h( ) h( ) h(t)h(t )d ,

и функцию Rh ( ) можно назвать автокорреляционной функцией

импульсной характеристики58. АКФ импульсной характеристики может быть измерена при помощи коррелометра, подключенного к выходу цепи, если на ее вход подать белый шум с единичной спек-

H ( f1)X ( f1)X *( f )e j 2 ( f1 f )te j 2 f1 dfdf1

58 Заметим, что здесь имеется в виду АКФ детерминированной функции.

Для ВКФ входного и выходного процессов выполняется свойство

Rxy ( ) Ryx ( ) .

Анализ распределения шума на выходе цепи в общем случае весьма сложен, однако во многих практически важных случаях выходной процесс можно считать гауссовским. Это предположение оправдано, когда:

1) эффективная ширина спектра входного процесса намного шире, чем полоса пропускания цепи (при этом происходит норма-

лизация процесса, так как интеграл Дюамеля можно приближенно представить суммой независимых «прошлых» отсчетов входного процесса с весовыми коэффициентами, равными соответствующим отсчетам импульсной характеристики, причем количество этих независимых отсчетов равно отношению длины ИХ к интервалу корреляции входного процесса, или, что то же самое, отношению полосы частот входного процесса к полосе пропускания цепи; согласно центральной предельной теореме Ляпунова распределение суммы независимых случайных величин стремится к нормальному с увеличением числа слагаемых);

2) на входе ЛИС-цепи гауссовский процесс, причем необязательно широкополосный (при этом значение выходного процесса равно сумме гауссовских случайных величин, которая имеет гауссово распределение независимо от числа слагаемых) .

3.5.БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Ранее рассматривались линейные преобразования детерминированных колебаний и случайных процессов. Напомним, что линейными называются преобразования, подчиняющиеся принципу

суперпозиции (см. разд. 2). В технике связи часто используются цепи, не удовлетворяющие этому принципу, т.е. нелинейные.

К сожалению, общей теории нелинейных цепей и их взаимодействия с сигналами, столь же простой, как теория ЛИС-цепей, не существует. Некоторые задачи, связанные с воздействием детерминированных колебаний на нелинейные цепи, будут рассмотрены в

разд. 5. Анализ многомерного распределения шума на выходе нелинейной цепи в общем случае представляет собой крайне слож-

ную задачу, однако иногда рассматриваемая нелинейная цепь является безынерционной59, т. е. значение выходного процесса зависит только от значения входного процесса в этот же момент времени. Кроме того, во многих практически важных задачах достаточно знать распределение процесса лишь в одном временно´м

сечении, т. е. его одномерное распределение (распределение мгновенного значения случайного процесса). Таким образом, фактиче-

ски при этом рассматривается нелинейное преобразование случайной величины, анализ которого представляет собой сравнительно

простую задачу.

Нелинейная безынерционная цепь описывается характеристикой y f (x) , указывающей зависимость мгновенного значения y

выходного процесса y(t) от мгновенного значения x входного процесса x(t) . Предположим, что эта зависимость монотонна,

(рис. 3.8, а). Обозначим одномерную ПРВ мгновенного значения входного процесса wx (x) , а аналогичную функцию для выходного

процесса – wy ( y) (индексы указывают, к какой случайной величи-

не относится соответствующая ПРВ). Поскольку вероятность попадания случайной величины x с плотностью wx (x) в бесконечно

59 Можно сказать, что безынерционная цепь не имеет памяти.

x(t) со спектральной плотностью мощности Wx ( f ) . Поскольку

АЧХ фильтра Гильберта тождественно равна 1, СПМ сопряженного процесса xˆ(t) , которую обозначим Wxˆ ( f ) , равна Wx ( f ) . Зна-

чит, равны и автокорреляционные функции этих процессов:

Поскольку он формируется фильтром с КЧХ (2.62), его СПМ должна быть равна

Согласно теореме Винера – Хинчина АКФ комплексного СП

где для мнимой части (3.18) введено обозначение 2R*( ) .

Вспомним, что спектральная плотность аналитического сигнала является правосторонней (равна 0 при отрицательных частотах).

Так как АКФ и СПМ комплексного случайного процесса z(t) так-

же связаны парой преобразований Фурье, то очевидно, что право-

сторонней СПМ должна соответствовать АКФ, имеющая вид аналитического сигнала, причем ее вещественная и мнимая части

связаны парой преобразований Гильберта:

Сравнивая (3.20) и (3.19), видим, что функция Rre ( ) 2Rx ( )

является четной вещественной (это видно и из выражения (3.18), определяющего Rre ( ) суммой косинусоид). Аналогично Rim ( ) –

вещественная нечетная функция, как сумма синусоид, каждая из которых сопряжена по Гильберту соответствующей косинусои-

де в Rre ( ) .

Запишем АКФ комплексного СП z(t) :

Полученное выражение представляет функцию, сопряженную по Гильберту автокорреляционной функции исходного процесса.