- •Методические указания по выполнению лабораторных и расчетно-графических работ
- •1 Лабораторная работа №1. Методы интерполяции.
- •1.1 Расчеты в точке
- •1.2 Расчеты в точке с большей кривизной
- •1.3 Проверка проведенных вычислений по компьютерной программе
- •1.4 Исследование влияния числа узлов сетки на точность интерполяции
- •2 Лабораторная работа №2. Численные методы дифференцирования функции одной переменной. Формулы Стирлинга
- •3 Лабораторная работа №3. Численные методы решения нелинейных уравнений. Методы дихотомии, хорд, касательных
- •3.1 Задача отделения корня.
- •3.2 Нахождение корня методом дихотомии
- •3.3 Нахождение корня методом хорд
- •3.4 Нахождение корня методом касательных (Ньютона)
- •4 Лабораторная работа №4. Численные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- •5 Лабораторная работа №5. Численные методы поиска экстремума функций одной переменной. Методы дихотомии, «золотого сечения», Ньютона.
- •5.1 Поиск минимума методом дихотомии
- •5.2 Поиск минимума методом «золотого сечения»
- •5.3 Поиск минимума методом Ньютона
- •Выводы: При поиске минимума функции на отрезке
- •6 Лабораторная работа №6. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера, модифицированного метода Эйлера с пересчетом, Рунге-Кутты.
- •6.5 Решение с помощью программного комплекса «чмриз».
- •7 Лабораторная работа №7. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло.
5.1 Поиск минимума методом дихотомии
1) Первые два приближения возьмем на расстоянии от середины выбранного отрезка :
;
.
Так как ,то нужно выполнить следующее приближение.
Значения функции в этих точках
;
Так как , то правый отрезокотбрасываем, т.е. считаем, что минимум функции находится на отрезке .
Итак, перед второй итерацией считаем, что .
2) Вторые два приближения возьмем на расстоянии от середины отрезка :
;
.
Так как ,то нужно выполнить следующее приближение.
Значения функции в этих точках
Так как , то левый отрезокотбрасываем, т.е. считаем, что минимум функции находится на отрезке .
Итак, перед третьей итерацией считаем, что .
3) Третьи два приближения возьмем на расстоянии от середины отрезка :
;
.
Так как ,то нужно выполнить следующее приближение.
Значения функции в этих точках
Так как , то левый отрезокотбрасываем, т.е. считаем, что минимум функции находится на отрезке .
Итак, перед четвертой итерацией считаем, что .
4) Четвертые два приближения возьмем на расстоянии от середины отрезка :
;
.
Так как ,то нужно выполнить следующее приближение.
Значения функции в этих точках
Так как , то левый отрезокотбрасываем, т.е. считаем, что минимум функции находится на отрезке .
Итак, перед пятой итерацией считаем, что .
5) Пятые два приближения возьмем на расстоянии от середины отрезка :
;
.
Так как ,то нужно выполнить следующее приближение.
Значения функции в этих точках
Так как , то правый отрезокотбрасываем, т.е. считаем, что минимум функции находится на отрезке .
Итак, перед шестой итерацией считаем, что .
6) Шестые два приближения возьмем на расстоянии от середины отрезка :
;
.
Так как ,то процесс последовательных приближений можно считать законченным и середину отрезка т.е. точку принять за решение.
Итак, ;число приближений.
Ниже приведены расчеты нахождения минимума функции методом дихотомии, выполненные с помощью компьютерной программы.
5.2 Поиск минимума методом «золотого сечения»
1) Находим первые два приближения по формулам:
,где - пропорция«золотого сечения».
Для отрезка имеем
Так как и,то правый отрезокотбрасываем и считаем, что ,ане меняется.
Так как ,то нужно выполнить следующее приближение.
2) Теперь по правилу «золотого сечения» делим отрезок ,причем точкауже находится внутри этого отрезка, а точку ищем как точку, симметричную точке относительно середины отрезка , т.е. по формуле
Так как , а,то левый отрезокотбрасываем и считаем, что ,ане меняется.
Так как ,то нужно выполнить следующее приближение.
3) Теперь по правилу «золотого сечения» делим отрезок ,причем точкауже находится внутри этого отрезка, а точку ищем как точку, симметричную точке относительно середины отрезка , т.е. по формуле
Так как , а,то левый отрезокотбрасываем и считаем, что ,ане меняется.
Так как ,то нужно выполнить следующее приближение.
4) Теперь по правилу «золотого сечения» делим отрезок ,причем точкауже находится внутри этого отрезка, а точку ищем как точку, симметричную точке относительно середины отрезка , т.е. по формуле
Так как , и,то правый отрезокотбрасываем и считаем, что ,ане меняется.
Так как ,то нужно выполнить следующее приближение.
5) Теперь по правилу «золотого сечения» делим отрезок ,причем точкауже находится внутри этого отрезка, а точку ищем как точку, симметричную точке относительно середины отрезка , т.е. по формуле
Так как , и,то правый отрезокотбрасываем и считаем, что ,ане меняется.
Так как ,то нужно выполнить следующее приближение.
6) Теперь по правилу «золотого сечения» делим отрезок ,причем точкауже находится внутри этого отрезка, а точку ищем как точку, симметричную точке относительно середины отрезка , т.е. по формуле
Так как , а,то левый отрезокотбрасываем и считаем, что ,ане меняется.
Так как ,то процесс последовательных приближений можно считать законченным и середину отрезка т.е. точку принять за решение.
Итак, ;число приближений.
Ниже приведены расчеты нахождения минимума функции методом «золотого сечения», выполненные с помощью компьютерной программы.