3.2 Нахождение корня методом дихотомии

Итак, визуально найдено, что на отрезке расположен один (наибольший) корень уравнения. Проверяем условие.

, т.е. на отрезке расположен корень уравнения.

1) Находим значение корня в первом приближении. Согласно методу дихотомии .Т.к.длина отрезка , то точность нахождения корня недостаточна, и потребуется второе приближение. Точка делит отрезок на две половиныи. На концах отрезкафункция имеет одинаковые знаки, поэтому этот отрезок отбрасываем, а корень уравнения ищем на отрезке.

2) Находим значение корня во втором приближении.

.Т.к.длина отрезка , то точность нахождения корня недостаточна, и потребуется третье приближение. Точка делит отрезок на две половиныи. На концах отрезкафункция имеет разные знаки, поэтому корень уравнения ищем на этом отрезке, а отрезокотбрасываем.

3) Находим значение корня в третьем приближении.

.Так какдлина отрезка , то точность нахождения корня недостаточна, и потребуется четвертое приближение. Точка делит отрезок на две половиныи. На концах отрезкафункция имеет разные знаки, поэтому корень уравнения ищем на этом отрезке, а отрезокотбрасываем.

4) Последующие приближения выполним с помощью компьютерной программы.

Для метода дихотомии:

Результаты расчетов заносим в таблицу 3.1:

3.3 Нахождение корня методом хорд

1) Находим значение корня в первом приближении. В 2.3.2 было выяснено, что на отрезке расположен один корень уравнения. Согласно методу хорд.Т.к.длина отрезка , то точность нахождения корня недостаточна, и потребуется второе приближение. Точка делит отрезок на два отрезкаи. На концах отрезкафункция имеет одинаковые знаки, поэтому этот отрезок отбрасываем, а корень уравнения ищем на отрезке.

2) Находим значение корня во втором приближении.

Согласно методу хорд .

Т.к.длина отрезка , то точность нахождения корня недостаточна, и потребуется третье приближение. Точка делит отрезок на два отрезкаи. На концах отрезкафункция имеет одинаковые знаки, поэтому этот отрезок отбрасываем, а корень уравнения ищем на отрезке.

3) Находим значение корня в третьем приближении.

Согласно методу хорд .

Т.к.длина отрезка , то точность нахождения корня недостаточна, и потребуется третье приближение. Точка делит отрезок на два отрезкаи. На концах отрезкафункция имеет одинаковые знаки, поэтому этот отрезок отбрасываем, а корень уравнения ищем на отрезке.

4) Последующие приближения выполним с помощью компьютерной программы.

Для метода хорд:

Результаты расчетов заносим в таблицу 3.1:

3.4 Нахождение корня методом касательных (Ньютона)

1) Прежде всего, необходимо проверить условия сходимости метода Ньютона:

а) в интервале поиска корня первая и вторая производные сохраняют знак;

б) нулевое приближение выбрано из условия .

а) Для функции ранее был определен интервал поиска корня .

Первая производная ;

сохраняет знак, что видно и из графика функции – на выбранном отрезке она монотонно возрастает.

Вторая производная , т.е. кривая вогнута при любых, что так же видно из графика.

б) Выберем начальное приближение и проверим условие .

При;; .

Точка не подходит.

При;; .

Точка подходит.

Итак, за начальное приближение в методе Ньютона следует выбрать точку.

2) Находим значение корня в первом приближении. .Т.к.длина отрезка , то точность нахождения корня недостаточна, и потребуется второе приближение.

3) Находим значение корня во втором приближении. .Т.к.длина отрезка , то точность нахождения корня недостаточна, и потребуется третье приближение.

4) Находим значение корня в третьем приближении. .Т.к.длина отрезка , то точность нахождения корня еще недостаточна, и потребуется четвертое приближение.

5) Находим значение корня в четвертом приближении. .Т.к. длина отрезка , то с заданной точностью значениеможно принять за решение уравнения.

6) Решение по компьютерной программе для метода касательных (Ньютона):

Результаты расчетов заносим в таблицу 3.1:

Таблица 3.1 Нахождение корня уравнения на отрезке

№	Название метода	Число итераций	Значение корня
1	Дихотомии (половинного деления)	8	0,653
2	Хорд	5	0,65
3	Касательных (Ньютона)	4	0,65

Вывод: самым быстрым для данной функции является метод Ньютона.