- •Методические указания по выполнению лабораторных и расчетно-графических работ
- •1 Лабораторная работа №1. Методы интерполяции.
- •1.1 Расчеты в точке
- •1.2 Расчеты в точке с большей кривизной
- •1.3 Проверка проведенных вычислений по компьютерной программе
- •1.4 Исследование влияния числа узлов сетки на точность интерполяции
- •2 Лабораторная работа №2. Численные методы дифференцирования функции одной переменной. Формулы Стирлинга
- •3 Лабораторная работа №3. Численные методы решения нелинейных уравнений. Методы дихотомии, хорд, касательных
- •3.1 Задача отделения корня.
- •3.2 Нахождение корня методом дихотомии
- •3.3 Нахождение корня методом хорд
- •3.4 Нахождение корня методом касательных (Ньютона)
- •4 Лабораторная работа №4. Численные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- •5 Лабораторная работа №5. Численные методы поиска экстремума функций одной переменной. Методы дихотомии, «золотого сечения», Ньютона.
- •5.1 Поиск минимума методом дихотомии
- •5.2 Поиск минимума методом «золотого сечения»
- •5.3 Поиск минимума методом Ньютона
- •Выводы: При поиске минимума функции на отрезке
- •6 Лабораторная работа №6. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера, модифицированного метода Эйлера с пересчетом, Рунге-Кутты.
- •6.5 Решение с помощью программного комплекса «чмриз».
- •7 Лабораторная работа №7. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло.
2 Лабораторная работа №2. Численные методы дифференцирования функции одной переменной. Формулы Стирлинга
Задание. С помощью формулы Стирлинга найти численные значения первой и второй производной функции в двух точках и,в которых функция имеет разную кривизну. Исследовать зависимость относительной погрешности нахождения производных от масштаба вариации в формуле Стирлинга.
Решение.
График функции приведен на рисунке 2.1
Рисунок 2.1 График функции
Выберем две точки и ,в которых функция имеет разную кривизну, и вычислим точные значения первой и второй производной функции в этих точках:
Вычислим значенияпервой и второй производной функции в точках и по формулам Стирлинга (3.14) (смотри теоретический материал)
Вычисления проведем с помощью пакета компьютерных программ, задаваясь рядом значений масштаба вариации .
Относительную погрешность определения первой и второй производных в выбранных точках и определяем по формулам
,
.
Результаты расчетов сведем в таблицы 2.1 и 2.2.
Таблица 2.1 Результаты расчетов в точке ,,
Масштаб вариации m |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
5,96 |
5,84 |
5,81 |
5,802 |
5,8 | |
2,759 |
0,69 |
0,172 |
0,028 |
0,007 | |
12,88 |
12,82 |
12,805 |
12,801 |
12,8 | |
0,625 |
0,156 |
0,039 |
0,006 |
0,002 |
Таблица 2.1 Результаты расчетов в точке ,,
Масштаб вариации m |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
|
26,701 |
26,001 |
25,826 |
25,777 |
25,77 |
|
3,621 |
0,905 |
0,226 |
0,036 |
0,009 |
|
39,939 |
39,745 |
39,696 |
39,683 |
39,681 |
|
0,653 |
0,163 |
0,041 |
0,007 |
0,002 |
По результатам расчетов построим графики зависимости относительной погрешности расчета производных от масштаба вариации.
Рисунок 2.2 Зависимость относительной погрешности расчета первой
производной в % от масштаба вариации mв точкеx1=1,0
Рисунок 2.3 Зависимость относительной погрешности расчета второй
производной в % от масштаба вариации mв точкеx1=1.0
Рисунок 2.4 Зависимость относительной погрешности расчета первой
производной в % от масштаба вариации mв точкеx2=1.8
Рисунок 2.5 Зависимость относительной погрешности расчета второй
производной в % от масштаба вариации mв точкеx2=1,8
Выводы: уже при масштабе вариации погрешность вычисления производных не превышает 0,1%.
3 Лабораторная работа №3. Численные методы решения нелинейных уравнений. Методы дихотомии, хорд, касательных
Задание. Найти наибольший корень уравнения методами дихотомии, хорд и касательных с точностью .Сделать выводы о скорости сходимости рассмотренных методов.
Решение.
3.1 Задача отделения корня.
График функции был приведен на рисунке 2.1. Из графика функции видно, что уравнение имеет два действительных корня. Наибольший корень уравнения расположен на отрезке .