- •Методические указания по выполнению лабораторных и расчетно-графических работ
- •1 Лабораторная работа №1. Методы интерполяции.
- •1.1 Расчеты в точке
- •1.2 Расчеты в точке с большей кривизной
- •1.3 Проверка проведенных вычислений по компьютерной программе
- •1.4 Исследование влияния числа узлов сетки на точность интерполяции
- •2 Лабораторная работа №2. Численные методы дифференцирования функции одной переменной. Формулы Стирлинга
- •3 Лабораторная работа №3. Численные методы решения нелинейных уравнений. Методы дихотомии, хорд, касательных
- •3.1 Задача отделения корня.
- •3.2 Нахождение корня методом дихотомии
- •3.3 Нахождение корня методом хорд
- •3.4 Нахождение корня методом касательных (Ньютона)
- •4 Лабораторная работа №4. Численные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- •5 Лабораторная работа №5. Численные методы поиска экстремума функций одной переменной. Методы дихотомии, «золотого сечения», Ньютона.
- •5.1 Поиск минимума методом дихотомии
- •5.2 Поиск минимума методом «золотого сечения»
- •5.3 Поиск минимума методом Ньютона
- •Выводы: При поиске минимума функции на отрезке
- •6 Лабораторная работа №6. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера, модифицированного метода Эйлера с пересчетом, Рунге-Кутты.
- •6.5 Решение с помощью программного комплекса «чмриз».
- •7 Лабораторная работа №7. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло.
4 Лабораторная работа №4. Численные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
Задание.
С точностью найти все решения системы уравнений методом Ньютона. Исследовать процесс поиска решения, задаваясь разными значениями нулевого приближения.
Решение.
Нарисуем в системе координат XOY графики функций
Из графиков функций видно, что система имеет два действительных решения.
4.1 Нахождение первого решения (левой точки, с меньшим значением координаты «x»). Рассмотрим 4 варианта задания нулевого проиближения в каждом из четырех возможных секторов:
и изобразим картину процесса поиска решения.
1)
Приведем последовательность расчета первого варианта «вручную».
а) Расчет первого приближения.
где приращениянаходятся из системы уравнений (5.4)
(см. раздел 5.1 теоретической части).
В нашем случае
; ;
;
; ;
; ;
;
;
Решим систему линейных уравнений методом Крамера.
, , где
;
;
;
, ;
.
Так как и, то точность нахождения решения системы уравнений недостаточна, и необходимо еще одно приближение.
б) Расчет второго приближения.
где ,априращениянаходятся из системы уравнений
В нашем случае
; ;
;
; ;
; ;
;
;
Решим систему линейных уравнений методом Крамера.
, , где
;
;
;
, ;
.
Так как и, то точность нахождения решения системы уравнений недостаточна, и необходимо еще одно приближение.
в) Расчет третьего приближения.
где ,априращениянаходятся из системы уравнений
В нашем случае
; ;
;
; ;
; ;
;
;
Решим систему линейных уравнений методом Крамера.
, , где
;
;
;
, ;
.
Так как и, то точность нахождения решения системы уравнений недостаточна, и формально необходимо сделать еще одно последнее приближение.
Итак, решение системы: .
Ниже приведены расчеты этого и всех других вариантов расчета, выполненные с помощью компьютерной программы.
2)
3)
4) :
4.2 Нахождение второго решения (правой точки, с большим значением координаты «x»). Рассмотрим 4 варианта задания нулевого проиближения в каждом из четырех возможных секторов:
и изобразим картину процесса поиска решения.
1)
2)
3)
4) :
4.3 Пример задания исходных данных, когда решение методом Ньютона найти не удается. Рассмотрим следующий вариант задания нулевого проиближения:
Полученный результат – «Число приближений > 100 !!!» говорит о том, что процесс поиска решения расходится.
Выводы: Метод Ньютона быстро приводит к нахождению решения системы уравнений, но он очень чувствителен к заданию нулевого приближения. В случае неудачного задания нулевого приближения процесс поиска может расходиться.
5 Лабораторная работа №5. Численные методы поиска экстремума функций одной переменной. Методы дихотомии, «золотого сечения», Ньютона.
Задание.
С точностью найти глобальный минимум функции одной переменной методами дихотомии, «золотого сечения» и Ньютона. Значения границ интервала поиска задать из условия унимодальнос-ти функции в области глобального минимума(определить визуально,нарисовав для этого график функции).
Сделать выводы о скорости сходимости рассмотренных методов минимизации функции.
Решение.
График функции имеет вид:
Из графика видно, что функция имеет глобальный минимум и унимодальна (имеет единственный минимум) на отрезке .