Тетрадь 3 (функция одной переменной)

Якщо функція u g x

має похідну

в

точці x ,

а

функція

y f u – у

відповідній точці u g x , то складена функція

y f g x

диференційована в точці x,

причому f (g(x))

f (g(x)) g (x). f (g(x)) f (g(x)) g (x).

4.5. Рівняння дотичної до графіка функції y f (x) у точці х 1 має

вигляд:

А

y f ( 1) f ( 1)(x 1)

Б

y f ( 1) f ( 1)(x 1)

В

y f ( 1) f ( 1)(x 1)

Г

y f ( 1) f ( 1)(x 1)

Д

y f ( 1) f ( 1)(x 1)

Рівняння

дотичної

до

графіка функції

y f (x) в

точці х0

має вигляд

А

y f (1)

1

(x 1)

f (1)

Б

y f (1)

1

(x 1)

f (1)

В

y f (1)

1

(x 1)

f (1)

Г

y f (1)

1

(x 1)

f (1)

Д

y f (1)

1

(x 1)

f (1)

Рівняння нормалі до

графіка

функції

y f (x) в

точці

х0 має

вигляд

y f (x0 )

1

(x x0 ) .

(x0 )

f

4.7.

Похідна функції, що задана параметрично

x cost,

обчислюється за

y sin t,

формулою:

А

Б

В

Г

Д

sin t

cost

y

sin t

y

cost

yx sin t

x

cost

yx

x

sin t

yx

cost

sin t

83

А

Б

В

Г

Д

y

y

y

yt t

y

y

yх

t

t

t

t

yxx

xx

t

yxx

xt

xx

х t

yxx

xt

x

t

t

А

Б

В

Г

Д

y xcos x

y 2х3

y2 х 2х у

y ln(cos x)

y е 2 х 1

Логарифмічне диференціювання доцільно використовувати, якщо функція

задана у вигляді:

а) y

uk1 x uk2

x ... ukm x

1

2

m

;

vl1

x vl2

x ... vln x

1

2

n

А

Б

В

Г

Д

y ln xх3

y

(х 2)3

2х 3

y tg x х3

y (cos x)5

y

x3 (1 x)16

(х 5)7 (5 3х)9

2x 6

Логарифмічне диференціювання доцільно використовувати, якщо функція

задана у вигляді:

а) y

uk1 x uk2

x ... ukm x

1

2

m

;

vl1 x vl2

x

... vln x

1

2

n

А

v(t) 3t2 3t 2

Б

v(t) 2t2 3t 4

В

v(t) 6t2 6t 4

Г

v(t) 6t3 6t2 4

Д

v(t) 6t2 6t 4 2

4.12. Задано закон руху матеріальної точки s(t) 2t3 3t2

4t 2 . Знайдіть

прискорення в момент часу t 1.

А

Б

В

Г

Д

a(t) 3

a(t) 6

a(t) 0

а(t) 4

a(t) 12t 6

y 9x5

3

1

2 3

Крок 1.

Запишіть кожен доданок функції

x2

у

x4

x

вигляді степеневої функції x .

3

1

y 9x5

2 3 x2

...

x4

x

1

m

x n ,

Скористайтесь властивостями степенів:

n xm x n .

xn

U V U V

U

, де U sin x cos x, V 1 sin x .

V

2

V

y

cos x sin x 1 sin x sin x cos x cos x

...

1 sin x 2

Відповідь:

y

cos x sin x 1

.

1 sin x 2

y

e

2 x

sin3x ... sin3x ... ...

Для знаходження похідної застосуйте правило диференціювання добутку

U V U V , де U e2 x , V sin 3x .

U V

sinU cosU U .

2e

2 x

sin 3x 3e

2 x

cos3x .

Відповідь: y

4.16. Знайдіть похідну функції

y

arccos

3x 1

.

2x 3x2 2

Хід розв’язання.

Крок 1. Знайдіть похідну функції

y

arccos 3x 1

. Скористайтесь

2x 3x2 2

правилом диференціювання частки функцій.

arccos 3x 1

...

y

...

...

...

2

2

2

2 ...

2x 3x

2x 3x

U V U V

U

, де U arccos

3x 1

, V

2x 3x2

.

2

2

V

V

1

arccos 3x 1

...

1

...

2

2

2x 3x

2

...

...

2 ...

Застосуйте формули диференціювання складених функцій: для першої функції

1

arccosU

U , де

U 3x 1та для другої функції U n

n U n 1 U , де

1 U 2

U 2x 3x2 .

Під час знаходження похідних функцій 3x 1 та 2x 3x2

застосуйте правило

C U ,

диференціювання суми U V

U V та скористайтесь формулами: C U

nxn 1 .

де C const ;

xn

Крок

3. Підставте

знайдені

похідні

функцій

arccos 3x 1 та

2x 3x2 2

у загальну формулу похідної функції y

arccos 3x 1

.

Зробіть

2x 3x2 2

перетворення в чисельнику отриманого дробу.

6x 9x2

1

3

2x 3x2

2 arccos

3x

1 2

2x 3x2

2 6x

y

2x 3x2 4

У чисельнику

отриманого дробу винесіть за дужки загальний множник

2x 3x2 та скоротіть

на нього дріб.

a

У

першому

доданку

чисельника

зверніть

увагу на

те, що

a ,

де

a

a 6x 9x2 .

4 12x arccos 3x 1

Відповідь: y

6x 9x2

.

2x 3x2 3

4.17. Знайдіть похідну функції y arcsin4 3x cos 4x6 .

Хід розв’язання.

Крок

1.

Знайдіть

похідну

функції y arcsin4 3x cos 4x6 .

Скористайтесь правилом диференціювання добутку функцій.

y arcsin

4

3x

cos 4x

6

...

...

...

...

Для знаходження похідної застосуйте правило диференціювання частки

3x, V cos 4x6 .

U V U V U V , де U arcsin4

Крок 2.

Знайдіть окремо похідні складених функцій

arcsin4 3x

та

cos 4x6 .

4

arcsin

3x

...

...

4 arcsin 3x

cos 4x

6

...

...

Застосуйте формули диференціювання складених функцій: для першої функції

U , де

U n

nU n 1 U

, де

U arcsin 3x та для другої функції

cosU

sinU

U 4x6 .

Для знаходження похідної функції arcsin 3x , скористайтесь формулою

1