Тетрадь 3 (функция одной переменной)
.pdfЯкщо |
при x , |
то |
чисельник і знаменник є нескінченно великими |
функціями. |
Відношення |
двох |
нескінченно великих величин позначається |
невизначеністю виду .
Крок 3. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення отриманої
границі |
|
lim |
|
|
x |
. |
Для цього |
продиференціюйте чисельник та знаменник |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x ex |
|
|
|
|
|
|
||||||
дробу |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
... |
|
||||
lim |
|
|
lim |
x |
lim |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
x e |
|
|
|
|
x ex |
x ... |
|
Застосуйте правило Лопіталя розкриття невизначеності 0 .
0
Згадайте, що x 1, ex ex .
Скористайтесь тим, що при x маємо, що ex , а відповідно e1x 0 .
Відповідь: 0 .
5.14. Обчисліть границю lim 2arctg x ln x за правилом Лопіталя.
x
Хід розв’язання.
Крок 1. З’ясуйте, як поводить себе кожен множник під знаком границі при x і визначте вид невизначеності.
lim 2arctg x ln x ... ...
x
Скористайтесь тим, що при x arctgx 2 , а ln x .
123
При x перший множник є нескінченно малою, а другий – нескінченно великою функцією. Добуток нескінченно малої та нескінченно великої функції
позначається невизначеністю виду 0 .
Крок 2. Запишіть добуток 2arctg x ln x у вигляді частки функцій. З’ясуйте вид невизначеності в отриманій границі.
lim 2arctg x ln x 0 lim |
2arctg x |
|
|
... |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
... |
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
... |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для функції ln x скористайтесь тим, що ln x |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|||
Якщо при x x0 функція |
f (x) , то функція |
|
1 |
|
0 . Тобто при |
x |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
||
функція |
1 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отже, маємо невизначеність вигляду |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Крок 3. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення отриманої
границі |
lim 2arctg x . Для цього |
продиференціюйте |
чисельник та |
||||||||||
|
x |
1ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
знаменник дробу |
2arctg x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 2arctg x ln x lim |
2arctg x |
|
0 |
|
2arctg x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
x |
|
|
0 |
x |
|
|
|
|||
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
1 |
ln x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Застосуйте правило Лопіталя розкриття невизначеності 0 .
0
124
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U V |
та |
|
У чисельнику застосуйте правило диференціювання суми U V |
|||||||||||
формулу |
arctgx |
1 |
. У |
знаменнику скористайтесь тим, |
що |
1 |
ln x 1 та |
||||
1 x2 |
ln x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
U , |
|
U ln x , |
|
|||
застосуйте |
формулу |
похідної |
складеної функції |
U n |
n U n 1 |
де |
а |
ln x 1x .
Крок 4. В отриманій границі 2lim x ln2 x з’ясуйте, як поводять себе
x 1 x2
чисельник і знаменник дробу при x та вкажіть вид невизначеності.
|
x ln2 x |
|
... |
||
2lim |
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|||
x |
|
|
... |
При x чисельник і знаменник дробу є нескінченно великими функціями. Відношення двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду
.
Крок 5. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення границі
2lim |
x ln2 x |
. Для цього знайдіть похідні чисельника та знаменника дробу |
||||||||||||
1 x2 |
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x ln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x ln2 x |
|
|
|
x ln2 x |
|
... ... ... ... |
|
|||||
2lim |
|
|
|
|
|
|
2lim |
|
|
|
2lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
x 1 x |
|
|
x |
|
x 0 |
... |
|
|||||||
|
1 |
x |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Застосуйте правило Лопіталя розкриття невизначеності .
|
У |
чисельнику |
застосуйте |
|
|
правило |
диференціювання |
добутка |
|
U V U V , де |
U x, V ln |
2 |
x |
та формулу |
похідної складеної |
функції |
|
U V |
|
125
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
U n |
n U n 1 U , |
де U ln x , |
а |
|
ln x |
. |
У знаменнику скористайтесь правилом |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U V . |
|
|
|
|
|
|||
диференціювання суми U V |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Крок 6. В отриманій границі lim |
|
ln2 x 2ln x |
з’ясуйте, як поводять |
||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
себе чисельник |
|
і |
знаменник |
дробу |
|
при x та вкажіть вид |
||||||||||
невизначеності. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ln2 |
x 2ln x |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x чисельник і знаменник дробу є нескінченно великими функціями. Відношення двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду
.
Крок 7. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення границі
lim |
ln2 |
x 2ln x |
. Для цього знайдіть похідні |
чисельника та знаменника |
|||||||
|
x |
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дробу |
ln2 x 2ln x |
. |
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 |
x 2ln x |
|
|
|
ln2 x 2ln x |
|
... |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
x |
x |
... |
|||||||
x |
|
|
|
x |
x 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь правилом Лопіталя розкриття невизначеності .
У чисельнику застосуйте правило диференціювання суми U V U V та
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
формулу похідної складеної функції U n |
n U n 1 |
U , де U ln x , а |
|
ln x |
. |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Крок 8. В отриманій границі 2lim |
ln x 1 |
|
з’ясуйте, як поводять себе |
||||||
|
|||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
чисельник і знаменник дробу при x та вкажіть вид невизначеності.
126
|
ln x 1 |
|
... |
||
2lim |
|
|
|
|
|
x |
|
||||
x |
|
... |
|||
|
|
|
|
|
При x чисельник і знаменник дробу є нескінченно великими функціями. Відношення двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду
.
Крок 9. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення границі
2lim |
ln x 1 |
|
. Для цього знайдіть похідні чисельника та знаменника дробу |
||||||||
|
x |
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln x 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x 1 |
|
|
|
|
|
||||
2lim |
|
|
|
|
|
2lim |
|
ln x 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
||||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь правилом Лопіталя розкриття невизначеності .
У чисельнику застосуйте правило диференціювання суми U V U V та формулу ln x 1x .
Крок 10. В отриманій границі 2lim 1 невизначеності немає.
x x
Обчисліть її.
2lim 1
x x
При |
x функція |
1 |
|
0 . |
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Відповідь: 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg x |
|||
5.15. Обчисліть границю lim tg |
|
|
x |
за правилом Лопіталя. |
||
|
x 0 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127 |
Хід розв’язання.
Крок 1. З’ясуйте, як поводить себе функція під знаком границі при x 0 і визначте вид невизначеності.
|
|
ctg x |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
lim tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|||
x 0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь тим, що при x 0 |
|
|
|
|
1 . |
||||
|
маємо ctgx , а tg |
x |
tg |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
При x 0 маємо невизначеність виду |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
ctg x |
||
Крок 2. Розгляньте функцію y tg |
x |
та прологарифмуйте |
|||
|
|
4 |
|
|
обидві її частини. Зробіть необхідні перетворення, використовуючи властивості логарифма.
|
ctg x |
|
ctg x |
|
|
|||||
y tg |
|
x |
; |
ln y ln tg |
|
x |
; |
ln y ... ln tg |
|
x |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
ln tg 4 x ln y
...
Згадайте властивості логарифма: ln ab b ln a .
Скористайтесь формулою ctgx tgx1 .
|
Крок |
3. Обчисліть границю логарифма початкової функції |
||
|
|
|
|
|
|
|
ln tg |
x |
|
limln y lim |
4 |
|
. З’ясуйте, як змінюються чисельник і знаменник |
|
tg x |
|
|||
x 0 |
x 0 |
|
|
дробу при x 0 та вкажіть вид невизначеності.
128
lim
x 0
|
|
|
|
|
ln tg |
x |
... |
||
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg x |
|
|
|
|
|
|
... |
|
Скористайтесь |
|
тим, |
що |
при |
x 0 : |
tgx 0 , |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||
|
|
а tg |
x |
tg |
1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
ln 1 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
відповідно ln tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При |
x 0 |
чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими величинами. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
Крок 4. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення границі |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ln tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
4 |
|
|
|
|
. |
Для цього |
знайдіть |
похідні |
чисельника |
та |
знаменника |
||||||||||||||||
|
tg x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ln tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дробу |
|
|
4 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ln tg |
4 |
x |
0 |
|
|
ln tg |
4 |
x |
|
|
|
... |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
limln y lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
tg x |
|
|
|
tg x |
|
|
|
... |
|
|
|
|||||||||||||||
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Застосуйте правило Лопіталя розкриття невизначеності 0 .
0
У чисельнику застосуйте формулу похідної складеної функції lnU U1 U ,
|
|
|
|
|
tgU |
1 |
|
U . У знаменнику скористайтесь формулою |
|
де |
U tg |
x |
, а |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
cos |
|
U |
|
tgx |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129 |
Крок 5. В отриманій границі lim |
|
|
|
cos2 x |
|
з’ясуйте, як |
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0 |
cos |
2 |
|
||||
|
|
|
x |
tg |
x |
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
поводять |
себе |
чисельник і |
|
знаменник |
дробу |
при |
|
x 0 |
та обчисліть |
||||||||||||||||||||||
границю. Для цього підставте граничне значення |
аргумента |
x 0 |
у |
||||||||||||||||||||||||||||
функцію, для якої обчислюється границя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
cos2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 0 |
cos |
2 |
|
x |
|
x 0 |
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4 |
x |
tg |
4 |
|
|
|
|
|
4 |
0 tg |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Згадайте значення функції |
y cos x |
для |
x 0, x |
|
cos 0 1, cos |
|
2 |
, |
а |
|||||||||||||||||||||
|
4 : |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|||
також tg |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
|
x 0 |
чисельник |
і |
знаменник |
дробу |
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
мають |
||||||||||||||
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x tg |
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скінченні границі.
Крок 6. Враховуючи, що limln y 2, знайдіть lim y . |
|
x 0 |
x 0 |
lim ln y 2
x 0
ln lim y 2
x 0
lim y ... ...
x 0
Скористайтесь правилом граничного переходу: при знаходженні границі
неперервної |
функції f (x) |
можна перейти |
до границі під знаком функції, тобто у |
|||||
функцію |
f (x) |
|
замість |
аргумента |
x |
підставити значення |
x0 |
lim x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
lim f (x) f |
lim x |
f (x0 ) |
|
|
|
|
|
|
x x0 |
x x0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь: e 2 .
130
Учимося моделювати професійну діяльність інженера
5.16. Період коливання маятника T 2 l980 с, де l = 20 см – довжина
маятника. Як потрібно змінити довжину маятника, щоб період коливання зменшився на 0,1 с ?
Хід розв'язання.
Крок 1. Уведіть позначення зміни (приросту) періоду коливання маятника та зміни (приросту) довжини маятника.
Диференціал незалежної змінної збігається з її приростом.
Крок2. Знайдіть зміну (приріст) періоду коливання маятника dT .
d T |
... |
|
... |
|
|
||||
... |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Скористайтесь: df u f u du , де u u x та |
|
u |
|
|
u . |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 u |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Крок 3.Виразіть dl з отриманого рівняння |
dT |
|
|
dl |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
980 |
l |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Отримаємо d l |
... |
|
|
||
... |
||
|
131
Скористайтесь перетвореннями дробово-раціональних виразів.
|
|
|
|
|
Крок 4.Підставте в отримане співвідношення |
dl |
|
980 ldT |
|
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
|
значення l = 20, dT 0,1 (знак мінус означає зменшення).
Відповідь: dl 4,46см .
Отже, щоб період коливання маятника зменшився на 0,1, його довжину необхідно зменшити на 4,46 см.
Учимося самостійно розв’язувати завдання
5.17.
І рівень |
ІІ рівень |
ІІІ рівень |
|||||||
Знайдіть диференціал |
Знайдіть диференціал |
Знайдіть диференціал |
|||||||
1 |
|
|
|
|
х3 |
1 |
функції y 5ln tgx . |
||
функції y |
|
|
|
. |
функції y |
|
|
. |
|
2 3 |
|
|
|
||||||
x |
|
х2 |
1 |
|
Скористайтесь |
Скористайтесь |
Скористайтесь |
|||
формулою |
для |
формулою |
для |
формулою |
для |
обчислення |
дифе- |
обчислення |
дифе- |
обчислення |
дифе- |
ренціала функції. |
ренціала функції. |
ренціала функції. |
132