Тетрадь 3 (функция одной переменной)
.pdf2.19. Знайдіть lim |
|
1 2x 3 |
. |
|
|
|
|||
x 4 |
2x 8 |
|||
Хід розв’язання. |
|
|
||
Крок 1. З’ясуйте, |
що буде з чисельником і знаменником дробу при |
|||
x 4 і визначте |
вид |
невизначеності. Для цього підставте граничне |
значення аргументу x 4 у функцію, для якої обчислюється границя.
lim |
1 2 4 3 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 4 |
2 4 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x 4 чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
Відношення двох нескінченно малих позначається невизначеністю виду |
|
. |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
Крок 2. Позбавтесь ірраціональності під знаком границі, для цього |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2x 3 |
|
|
|
|
|
|||
помножте чисельник і знаменник дробу |
на вираз |
|
1 2x 3, |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2x 8 |
|
|
|
|
спряжений чисельнику. Проведіть відповідні перетворення.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2x |
1 2x |
|
|
||||||
|
1 2x 3 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2x 8 |
|
|
|
3 |
|
... |
|||
|
2x 8 |
|
|
|
|
|||||||||||||
x 4 |
|
|
0 |
x 4 |
1 |
2x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вираз a b є спряженим виразом для a b .
Скористайтесь формулою скороченого множення (a b)(a b) a2 b2 .
У результаті проведених перетворень у чисельнику і знаменнику дробу було виділено критичний множник (x 4) , скорочення якого позбавляє функцію
невизначеності при x 4 .
Крок 3. Обчисліть отриману границю.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 2x 3 |
lim |
1 |
|
|
|
... |
||||
|
2x 8 |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 2x 3 |
||||||||||
x 4 |
|
x 4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
Для обчислення границі підставте граничне значення аргументу x 4 у перетворений вираз.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, lim |
|
1 2x 3 |
|
1 |
. |
|
|
|||||
|
|
2x 8 |
|
|
|
|||||||
x 4 |
|
6 |
|
|
|
|||||||
Відповідь: |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
x 6 2 |
|
|||||||
2.20. Знайдіть lim |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
x 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
Хід розв’язання.
Крок 1. З’ясуйте, що буде з чисельником і знаменником дробу при x 2 і визначтесь з видом невизначеності. Для цього підставте граничне значення аргументу x 2 у функцію, для якої обчислюється.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
3 2 6 2 |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
При |
x 2 чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Крок 2. Позбавтесь ірраціональності під знаком границі, для цього |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
помножте |
|
чисельник |
і |
знаменник дробу |
|
3 x 6 2 |
|
на |
вираз |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 6 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x 6 |
який доповнює чисельник до |
суми |
кубів. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Проведіть перетворення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 3 |
|
|
2 3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
x 6 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x 2 |
|
|
x 2 3 x 6 2 2 3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x 2 |
|
|
|
|
0 |
x 2 |
x 6 |
|
|
|
|
|
44
Скористайтесь формулою скороченого множення (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 . У нашому випадку a 3x 6 , b 2 .
В результаті проведених перетворень у чисельнику і знаменнику дроба було віделено критичний множник (x 2) , скорочення якого позбавляє функцію від
невизначеністі при x 2 .
Крок 3. Обчисліть отриману границю.
lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 6 2 2 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
x 2 3 |
x 6 |
4 |
||||||||||||
|
|
Для |
обчислення |
границі підставте граничне значення аргументу x 2 у |
||||||||||
функцію, для якої обчислюється границя. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, |
lim |
3 x 6 2 |
|
|
1 |
. |
|
|
||||||
|
x 2 |
12 |
|
|
||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
Відповідь: |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.21. Знайдіть lim |
9 |
2x 5 |
. |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x 8 |
|
3 x 2 |
Хід розв’язання.
Крок 1. З’ясуйте, що буде з чисельником і знаменником дробу при
x 8 і |
визначте вид невизначеності. Для цього підставте граничне |
||||||||
значення аргументу x 8 у функцію, для якої обчислюється границя. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
9 |
2 8 5 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 8 |
3 8 2 |
|
|
|
|||||
При x 8 чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду |
|
|
. |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
45
Крок 2. Позбавтесь невизначеності, для цього помножте чисельник і
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
знаменник |
|
дробу |
|
|
|
|
|
|
на вираз |
9 2x 5 , спряжений |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 3 |
|
4 , який доповнює знаменник до |
|||||||||||||||||||||||||||
чисельнику, та на вираз |
|
|
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
різниці кубів. Проведіть відповідні перетворення. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 3 |
|
|
2 3 |
|
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 2x |
9 2x |
x |
|
|||||||||||||||||||||
|
9 2x 5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x 8 |
|
3 x |
|
0 |
|
x 8 |
|
|
x2 |
2 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
x |
9 2x |
|
Скористайтесь формулами скороченого множення:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(a b)(a b) a2 b2 . У нашому випадку a 9 2x , b 5 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(a b)(a2 |
ab b2 ) a3 |
b3 . У нашому випадку a 3 x , b 2 . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
У результаті проведених перетворень у чисельнику і знаменнику дробу було |
||||||||||||||||||||||
виділено |
|
критичний |
множник (x 8) , скорочення якого позбавляє |
функцію |
||||||||||||||||||||
невизначеності при x 8 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
Крок 3. Обчисліть отриману границю. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
2 3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||
x 8 |
9 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Для |
обчислення |
|
границі підставте граничне значення аргументу |
x 8 у |
||||||||||||||||||
функцію, для якої обчислюється границя. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отже, |
lim |
|
9 2x 5 |
|
12 |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 x 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x 8 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
Відповідь: 125 .
46
2.22. Знайдіть lim |
|
|
x sin 3x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 1 cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Хід розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Крок 1. |
Підставте граничне значення аргументу x 0 у функцію, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
для якої обчислюється lim |
x sin 3x |
. З’ясуйте вид невизначеності. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
1 cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
0 sin 0 |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 cos0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Згадайте значення функції y cos x для x 0 : cos 0 1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
При x 0 |
чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin 3x |
|
|
||
|
|
|
|
Крок 2. Обчисліть границю функції |
|
|
|
, провівши попередні |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 cos 2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
перетворення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x sin 3x |
|
0 |
|
|
|
|
x sin 3x |
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2sin |
2 |
|
x |
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 0 1 cos 2x |
|
0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
x 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
3x sin 3x |
lim |
|
|
1 |
|
|
lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3x |
|
|
|
sin x |
|
... sin x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
x 0 |
2 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Для |
|
|
спрощення |
|
|
виразу |
|
знаменника |
1 cos 2x скористайтесь |
||||||||||||||||||||||
тригонометричною тотожністю 1 cos 2sin2 |
. Після цього застосуйте властивості |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
границі функції (якщо кожна з функцій f x |
2 |
x має скінченну границю в точці a , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
та g |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тоді в цій точці виконуються рівність: |
lim f x g x lim f x lim g x . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
x a |
x a |
|
|
Перетворіть функцію під знаком границі так, щоб отримати її у виляді
sin x .
x
47
|
|
Крок 3. Для кожної з отриманих |
функцій, |
обчисліть |
границі |
||||||||||||||||||||
lim |
3 sin 3x |
, |
lim |
|
|
1 |
|
та lim |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0 |
3x |
x 0 |
2 |
sin x |
|
x 0 |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
3 sin 3x |
... |
|
|
|
lim |
|
|
1 |
|
... |
lim |
|
|
1 |
|
... |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3x |
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
2 |
|
|
x 0 sin x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Скористайтесь першою важливою границею lim |
sin x |
1 . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Застосуйте властивості границі функції (якщо кожна з функцій f x та |
||||||||||||||||||||||
g x |
має скінченну |
границю в |
точці a , |
|
тоді в |
цій точці |
виконуються |
рівність: |
|
f x |
|
lim f x |
|
|
lim |
x a |
, при |
|||
g x |
lim g x |
||||
x a |
|
|
|||
|
|
|
x a |
|
lim g x 0 .)
x a
|
|
Крок |
|
|
4. |
|
|
|
|
Обчисліть |
добуток |
границь |
функцій |
||||||||||||
lim |
3 sin 3x |
lim |
|
|
1 |
|
|
lim |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
3x |
|
sin x |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
x 0 |
|
x 0 |
2 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
3 sin 3x |
lim |
|
1 |
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
... |
|
|
|||||||||
|
|
|
sin x |
|
|
sin x |
|
|
|
||||||||||||||||
x 0 |
|
3x |
|
x 0 |
2 |
|
x 0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставте кожне зі знайдених значень границь в отриманий вираз.
Отже, lim |
|
x sin 3x |
|
|
3 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 0 1 cos 2x |
2 |
|
|
|
|||||||
Відповідь: |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.23. Знайдіть lim |
x 1 |
3x 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
x 3 |
|
48
Хід розв’язання.
Крок 1. З’ясуйте, що буде з чисельником і знаменником дробово-
раціональної функції x 1 при x і визначте вид невизначеності для x 3
|
x 1 |
3x 1 |
|
|
|||||
функції |
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 3 |
|
|
|
|||||
x 1 |
3x 1 |
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||
x x 3 |
|
|
|
|
|||||
При |
x чисельник і знаменник дробу |
x 1 |
є нескінченно великими. |
||||||
x 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Відношення двох нескінченно великих позначається невизначеністю виду .
|
|
можна розкрити усно, |
Для дробово-раціональних функцій невизначеність |
|
|
|
|
|
якщо провести порівняння показників степенів |
n чисельника та знаменника дробу, а |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P (x) |
lim |
a xk a xk 1 |
... a |
x a |
|
|
||
саме: |
якщо |
розглядається |
lim |
k |
|
0 |
1 |
k 1 |
k |
, |
то |
||||
|
|
|
|
... b |
x b |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x Q (x) |
n b xm b xm 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
0 |
1 |
m 1 |
m |
|
|
||
lim |
Pk (x) |
|
a0 |
, |
якщо k m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x Q (x) |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Крок 2. Розкрийте невизначеність вигляду 1 |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x 1 |
|
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
4 3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розкриття невизначеності вигляду |
1 |
|
|
відбувається через зведення до |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
обчислення |
|
|
границі |
|
|
|
|
lim |
|
u |
|
x |
|
1 v |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
за |
формулою |
|||||||
lim u x |
v x |
|
|
1 u x 1 |
1 |
|
|
u x 1 v x |
|
|
lim u x |
1 v x |
|
|
|
|
u x 1 v x A |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
eA |
|||||||||||||||||||
|
|
lim |
u x 1 |
|
|
|
|
ex x0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
||
У нашому випадку u(x) |
x 1 |
, |
v(x) 3x 1, |
u x 1, |
v x , якщо x . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 3. Обчисліть границю функції, що отримана в показнику
lim |
4 3x 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||
ex |
x 3 після перетворень. Для цього з’ясуйте, що буде з чисельником і |
||||||
знаменником дробово-раціональної функції |
4(3x 1) |
при x . |
|||||
x 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
lim |
4(3x 1) |
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
x |
x 3 |
|
|
При x чисельник і знаменник дробу |
4(3x 1) |
є нескінченно |
|
x 3 |
|||
|
|
великими функціями. Відношення двох нескінченно великих величин позначається
|
|
невизначеністю виду |
. |
|
|
Для дробово-раціональних функцій невизначеність |
|
|
можна |
|
|
||
|
|
|
|
розкрити усно, якщо провести порівняння показників |
степенів |
n |
|
чисельника та |
|||||||||||||||||
знаменника |
|
|
дробу, |
а |
саме: |
|
якщо |
|
|
|
|
розглядається |
|||||||||
|
P (x) |
lim |
a xk a xk 1 |
... a |
x a |
|
P (x) |
|
a |
|
|
|
|
m . |
|
|
|||||
lim |
k |
0 |
1 |
k 1 |
k |
, то lim |
k |
0 |
, |
якщо k |
|
|
|||||||||
x Q (x) |
|
n b xm b xm 1 |
... b |
x b |
x Q (x) |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m |
|
0 |
1 |
m 1 |
m |
|
m |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 4. Підставте отримане значення A у вираз |
x x0 |
|
u |
|
x |
|
v x |
eA |
, де |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
A 12 .
x 1 |
3x 1 |
12 |
||
Отже, lim |
|
|
|
e . |
|
||||
x x 3 |
|
|
Відповідь: e12 .
2.24. Знайдіть lim 1 e3x arcsin2 5x . x 0 sin 2x tgx ln(1 x)
50
Хід розв’язання.
|
|
|
Крок 1. |
З’ясуйте, що буде з |
чисельником і знаменником дробу при |
||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
і |
визначте вид |
|
невизначеності. Для |
цього |
підставте граничне |
||||||||||||
значення |
аргументу |
|
x 0 |
у |
функцію, |
для |
якої |
обчислюється |
|||||||||||||
lim |
1 e3x |
arcsin2 5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 0 |
sin 2x tgx ln(1 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
lim |
|
1 e0 arcsin2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
sin 0 tg0 ln(1 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Згадайте |
значення |
функцій y ex , |
y arcsin x, y sin x, y tgx для x 0 |
та |
|||||||||||||
функції y ln x для x 1: e0 |
1, arcsin 0 0, sin 0 0, tg0 0 , ln1 0 . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
При |
x 0 чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Крок |
2. |
Зважаючи на |
x 0 , |
в чисельнику |
і знаменнику дробу |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e3x |
|
arcsin2 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
усі |
функції |
|
можна |
замінити |
еквівалентними |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
sin 2x tgx ln(1 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
нескінченно малими функціями. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
При |
х 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
e3x 1 ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
arcsin 5x ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
sin 2x ~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
tg x ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (1 x) ~
Скористайтесь |
тим, |
що |
коли |
x 0 , |
то |
e3x 1 ~ x , arcsin 5x ~ x, sin 2x ~ x, |
tg x ~ x, ln (1 x) ~ x . |
|
|
|
Крок 3. Підставте відповідні еквівалентні нескінченно малі функції у початкову границю, проведіть скорочення дробу та обчисліть значення границі.
51
|
|
e3x |
|
arcsin2 5x |
|
0 |
|
lim |
1 |
|
|
|
|
||
sin 2x tgx ln(1 x) |
|
||||||
x 0 |
|
0 |
|
У результаті проведених перетворень дроб скорочується на x3 , що позбавляє функцію невизначеності при x 0 .
Отже, lim |
1 e3x arcsin2 5x |
|
75 |
. |
|
sin 2x tgx ln(1 x) |
2 |
||||
x 0 |
|
|
Відповідь: 752 .
2.25. Знайдіть lim sin 2x . x sin 3x
Хід розв’язання.
Крок 1. З’ясуйте, що буде з чисельником і знаменником дробу при x і визначте вид невизначеності. Для цього підставте граничне
значення аргументу x у функцію, для якої обчислюється lim sin 2x . x sin 3x
lim sin 2 x sin 3
Згадайте значення функцій y sin x для x 2 та x 3 : sin 2 sin 3 0 .
При x чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями.
|
0 |
|
Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду |
|
. |
|
||
|
0 |
|
Крок 2. Зважаючи x , для обчислення границі не можна користуватися еквівалентними нескінченно малими функціями. Уведіть у розгляд нескінченно малу величину y x . Ураховуючи вказану
підстановку, проведіть заміну змінної під знаком границі.
52