Тетрадь 3 (функция одной переменной)
.pdf
|
|
При |
n маємо різницю |
двох |
|
нескінченно великих величин, |
що |
||||||||||||||||||||||||||||||
позначається невизначеністю виду . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Крок 2. Під знаком границі помножте та поділіть |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 2 |
n |
на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
його спряжений вираз |
|
|
|
|
та проведіть відповідні перетворення. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
n 2 |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
n 2 |
n |
n 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n 2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
... |
|
|
|
lim |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n 2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Вираз a b |
є спряженим виразом для a b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Скористайтесь формулою скороченого множення (a b)(a b) a2 b2 .
Крок 3. Знайдіть отриману границю.
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
n |
n 2 |
n |
|
|||
Скористайтеся тим, що частка від ділення сталої на нескінченно велику величину є нескінченно малою величиною, тобто, якщо xn Сn , C const , то xn 0
коли n .
Відповідь: 0 .
Учимося моделювати професійну діяльність інженера
1.20. Динамічна самоіндукція антени при постійному подовженні хвилі на
одиницю довжини виражається формулою L L0 |
5 l 3 |
2 |
3 |
— де, L |
|
3 |
2 |
2 |
4 |
||
|
7 l |
|
|
||
23 |
|
|
|
|
|
– динамічна самоіндукція; L0 – статична самоіндукція; l – діюча довжина
антени; – довжина хвилі антени. Знайти lim L .
Хід розв'язання.
Крок 1. З’ясуйте, як поводять себе чисельник і знаменник дробу й визначте вид невизначеності.
lim |
L |
5l 3 2 3 |
= |
|
|||
|
0 7l 3 2 2 4 |
||
|
|
|
При |
чисельник і |
знаменник дробу необмежено зростають. |
||||||||||||||||
Відношення двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю |
виду |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 2. Загальний член послідовності є дробово-раціональною |
||||||||||||||||||||
функцією аргументу . Розділіть чисельник і |
знаменник дробу на |
3 . |
|||||||||||||||||||
Отримаємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
5l |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
lim |
L |
5l 3 |
2 3 |
|
lim |
L |
3 |
3 |
|
... |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 7l 3 |
2 2 4 |
|
|
0 |
7l |
2 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
Для дробово-раціональних функцій невизначеність можна розкрити, якщо
розділити чисельник і знаменник дробу на k , де k – найбільший із показників степенів, які входять у цей вираз.
Відповідь: 75 L 0 .
Учимося самостійно розв’язувати завдання
1.21.
|
І рівень |
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2n2 n 1 |
|
lim |
(2n 1)(3n 5) |
|
|
|
n2 |
|
|
|
2n |
|
|
|
n3 |
3 |
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
n 5n |
|
7n 4 |
|
|
5n |
|
3n 4 |
|
n |
n |
1 n |
|
1 |
|
n |
|
n 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Винесіть |
за |
Зведіть |
задачу |
до |
Приведіть |
дроби |
до |
|
дужки старший |
попередньої |
(рі- |
спільного |
знаменника |
||||
степінь n |
чи- |
вень І), розкрив- |
та |
винесіть |
у |
|||
сельника |
та |
ши |
дужки |
в |
чисельнику |
|
та |
|
знаменника та скоротіть |
чисельнику |
|
|
знаменнику |
дробу |
за дужки |
||
дріб |
|
|
|
|
старший степінь n |
|
|
|
1.22.
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
n3 2n 1 |
|
|
3 |
n2 n |
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
1 n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
n 4 |
|
|
|
|
|
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
n |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Винесіть за дужки |
|
Винесіть |
за |
дужки |
|
|
Винесіть |
|
за |
дужки |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
старший |
|
степінь n |
|
старший |
|
степінь n |
|
|
старший |
|
|
степінь n |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
чисельника та зна- |
|
чисельника |
та |
зна- |
|
|
чисельника |
та |
зна- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
менника та скоро- |
|
менника |
та |
скоро- |
|
|
менника |
|
та |
скоро- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
тіть дріб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тіть дріб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тіть дріб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n 3 |
|
n 1 |
|
2n 3 |
|
n 1 |
n |
|
|
n 3 |
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Помножте та поді- |
|
Помножте |
|
|
|
та |
|
по- |
|
|
Помножте |
та |
по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
літь |
вираз |
під |
|
діліть |
вираз |
|
під |
|
|
діліть |
|
|
вираз |
|
|
під |
||||||||||||||||||||||||||||
|
знаком |
границі |
на |
|
знаком |
границі |
|
на |
|
|
знаком |
|
границі |
на |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
множник, |
|
|
|
|
|
|
|
|
множник, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множник, |
||||||||||||||||
спряжений виразу у дужках. |
спряжений виразу у дужках. |
спряжений виразу у дужках. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
(n 1)! |
|
lim |
n! (n 2)! |
|
|
|
lim |
n! (n 1)! (n 2)! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n n! (n 1)! |
|
n n! (n 2)! |
|
|
n n! (n 1)! (n 2)! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Розкладіть |
n! |
|
Розкладіть |
|
|
|
(n 2)! |
|
|
Розкладіть |
|
|
|
n!, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
через |
(n 1)! |
та |
|
через |
|
|
|
n! |
|
та |
|
|
|
|
|
|
(n 1)!, (n 2)! |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
скоротіть дріб. |
|
|
скоротіть дріб. |
|
|
|
|
через |
|
(n 2)! |
та |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скоротіть дріб. |
|
|
|
|
|||||||||||
1.25.
І рівень |
lim |
5 11 17 ... (6n 1) |
|
5n n2 1 |
|||
|
n |
||
|
|
|
Зверніть увагу на те, що доданки в чисельнику утворюють арифметичну про-
гресію.
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зверніть |
увагу |
на |
||
|
|
|
|
|
|
|
3 5 7 ... (2n 1) |
|
|
|
|
|
те, що доданки в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ІІ рівень |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
чисельнику |
утво- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рюють |
арифме- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тичну прогресію. Підрахуйте |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кількість цих членів. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Згрупуйте в дужки |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окремо |
додатні |
та |
||
|
|
4 3 9 8 ... (5n 1) (5n 2) |
|
|
від’ємні доданки. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ІІІ рівень |
lim |
|
|
Зверніть |
увагу |
на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те, що вони утво- |
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рюють |
дві |
арифметичні |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прогресії. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Зверніть |
увагу |
на |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
те, |
що |
доданки |
|||||||||||||||||||||||||||
І рівень |
|
|
|
lim 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
9 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
утворюють геомет- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ричну прогресію. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зверніть увагу на те, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
... |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що |
доданки |
в |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чисельнику |
|
та |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ІІ рівень |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знаменнику |
дроба |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
утворюють |
геометричні |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прогресії. |
Підрахуйте |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кількість їхніх членів. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скоротіть доданки. |
||||
|
|
|
|
6 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
Зверніть |
увагу |
на |
||||||||||||||||||||
ІІІ рівень |
lim |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
4 2 |
|
|
|
|
те, |
що |
вони |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
9 |
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
243 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
утворюють геомет- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ричну прогресію. |
||||
1.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множники знамен- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ника |
є |
членами |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
арифметичної про- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гресії з різницею 1. |
|||||||||||||||||||||
І рівень |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 2 |
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замініть |
|
одиниці |
|
в |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чисельниках |
дробів |
на |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
різницю |
відповідних |
членів |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прогресії. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зведіть |
задачу |
до |
||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
... |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
попередньої |
|
(І |
||||||||||||||||||||||
ІІ рівень |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рівень). Для цього |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n |
1 3 |
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n 1)(2n |
1) |
|
|
|
помножте |
|
та |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поділить вираз на 2. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зверніть |
увагу |
на |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те, що |
2n 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
n2 |
(n 1)2 |
|||||||
|
3 |
|
5 |
... |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
ІІІ рівень |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
2 |
(n 1) |
2 |
|
||||||||||||
4 |
36 |
n |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
n (n |
1) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Використовуючи цю тотож- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ність, перетворіть всі додан- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ки на різниці. |
|
|
|
||||
Учимося застосовувати CAS Mathematica |
|||||||||
для обчислення границі послідовності |
|||||||||
1.28. Дослідіть граничну дію ланок |
механізмів |
задану траєкторію |
|||||||
|
|
|
4n |
2 |
n 3 |
|
n 2 |
||
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
переміщення за допомогою послідовності |
n |
|
|
|
|
|
. |
||
4n |
2 |
2n 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Хід обчислення.
1.Відкрийте вікно CAS Mathematica.
2.За допомогою опції Palettes-Classroom Assistant викличте вкладки з шаблонами для набору символів.
3.Активізуйте праворуч у вкладці Basic Commands кнопку 
та оберіть у вікні Calculus обчислення 
.
4.У полі програми з’явиться шаблон 
для запису виразу числової послідовності та позначання, що n . Запишіть вираз
послідовності, застосовуючи шаблони вкладки Calculator-Basic |
і |
виокремте його за допомогою опції Evaluetion-Evaluete Cells . |
|
5. Викличте з мітками 
і 
обчислення границі послідовності. Отримайте значення границі послідовності.
27
Як пов’язане поняття границі функції з інженерною практикою
Припустимо, що деяке тіло починає рухатися в момент часу t 0 вздовж прямої, тоді шлях, що воно пройшло за час t , визначається
формулою S f t . Функцію S f t називають законом руху тіла. Розглянемо шлях MM1 , який пройшло тіло за відрізок часу t;t t
(рис. 2.1). Він дорівнює S f t t f t .
Рис. 2.1. Схема руху тіла, що проходить деякий шлях за деякий час
Якщо тіло рухається рівномірно, то відношення шляху, що пройшло |
|||
S |
f t t f t |
|
|
тіло до витраченого часу t |
|
|
, є швидкістю руху й не |
t |
|||
залежить від t і t . |
|
|
|
У разі нерівномірного руху це відношення залежить як від вибраного |
|||
моменту часу t , так і від приросту t і виражає середню швидкість руху на |
|||||
проміжку часу t;t t . Чим менший проміжок часу t , |
тим упевненіше |
||||
можна стверджувати, що |
рух протягом часу від t до |
t t – дуже |
|||
близький до рівномірного. |
|
|
|
|
|
Для отримання миттєвої швидкості в момент часу |
t застосовують |
||||
поняття границі функції у точці, що позначають |
|
||||
lim |
S |
lim |
f t t f t |
v t . |
|
t |
|
|
|||
t 0 |
t 0 |
t |
|
||
З’ясуємо які є можливості для обчислення границь функцій.
28
Складаємо опорний конспект
Границя функції у точці
Число |
|
A |
|
|
|
називають |
границею |
функції |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y f x |
|
при |
x a , |
якщо для будь-якого |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
числа 0 |
|
є число 0 таке, що для |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
всіх |
x , |
які |
|
|
задовольняють |
нерівність |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x a |
|
, |
|
|
|
причому |
|
x a , |
виконується |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
нерівність |
|
|
|
f x A |
|
. Записують це так: |
… |
або f x A при x a |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Геометричне |
|
|
|
тлумачення |
|
|
означення |
|
|
|||||||||||||||||||||||
границі функції: для всіх |
точок |
|
|
x , |
які |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
віддалені від точки a не далі, ніж на , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
графік функції y f |
x лежить усередині |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
смуги |
|
шириною 2 , |
обмеженої |
прямими |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
y A |
|
|
|
і |
|
|
y A . |
Добудуйте |
й |
|
|
||||||||||||||||||||
заштрихуйте отриману смугу на рисунку |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2. Геометричне |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тлумачення означення границі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функції |
Число |
|
A |
|
|
|
називають |
границею |
функції |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y f x |
|
при |
x , |
якщо для будь-якого |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
числа 0 |
|
є число |
M 0 |
таке, |
|
|
що для |
|
|
|||||||||||||||||||||||
всіх x , |
що задовольняють умову |
|
x |
|
M , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
виконується |
|
|
|
нерівність |
|
|
f x A |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Записують це так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
або f x A при x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Функцію |
y f x називають нескінченно |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
великою при x a , |
якщо для будь-якого |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
числа |
|
M 0 |
є число |
M |
таке, |
що для |
|
|
||||||||||||||||||||||||
всіх x a , |
|
і |
|
|
таких, |
які |
задовольняють |
|
|
|||||||||||||||||||||||
нерівність |
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
, |
|
виконується |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
нерівність |
|
f x |
|
M . Записують це так: |
|
|
lim f x ... |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Функцію x називають нескінченно |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
малою при x a , де a |
– стала чи символ |
|
lim x ... |
|||||||||||||||||||||||||||||
нескінченності, якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
||||
Односторонні границі
Число |
A |
|
називають |
правосторонньою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
границею |
|
функції |
f x |
при x a , |
якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim f x A , тобто для |
довільного |
числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 є число 0 таке, що для всіх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x з |
інтервалу |
|
|
a, a |
виконується |
|
|
|
|
|
|
…, або f a 0 A |
|
||||||||
нерівність |
|
f x Ai |
|
. Записується це так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Якщо A – лівостороння границя, тоді |
|
lim f x lim |
f x |
... |
A |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
x ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Якщо |
функція |
f x |
у |
точці |
a |
має |
|
|
|
lim |
f x lim |
f x ... |
|||||||||
границю, то виконуються рівності |
|
|
|
x a 0 |
|
x a 0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Властивості нескінченно малих |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
і нескінченно великих функцій |
|
|
|
||||||||||||
Сума нескінченно великої функції і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
обмеженої |
|
є |
нескінченно |
велика |
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
|
|||||||
функція. Символічно це записують так: |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||||||||||||
Сума двох нескінченно великих функцій |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
одного знака є нескінченно великою |
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
|
|||||||||||
функцією. Символічно це записують так: |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||||||||||||
Символічний запис |
словесно |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|||||||||
формулюється |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Добуток нескінченно великої функції на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
функцію, що більша за абсолютним |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
значенням від деякого додатного числа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
||||||||||
також є |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сума |
скінченого |
|
|
числа |
нескінченно |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|||||
малих величин є |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Добуток |
|
обмеженої |
функції |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
||||||
нескінченно малу є |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для того, |
щоб число A |
було границею |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
функції |
f x при |
|
|
x x0 , |
необхідно й |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|||||
достатньо, що різниця f x A була |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Якщо функція x |
– нескінченно мала |
1 |
|
|
|
є … |
при x x0 |
|
|||||||||||||
при x x0 |
0 , то |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Якщо функція x – нескінченно велика |
1 |
|
|
|
є |
|
… |
при x x0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при x x 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Сума двох нескінченно великих функцій невизначеністю вигляду... ...
різних знаків називається
30
Частку |
|
двох |
нескінченно |
великих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
||||||
функцій називають |
|
|
|
|
|
невизначеністю вигляду |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Частку |
від ділення |
двох нескінченно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
||||||||
малих величин у загальному випадку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
невизначеністю вигляду ... |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
називають |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Добуток |
нескінченно |
великої |
|
на |
невизначеністю вигляду... |
... |
|
|||||||||||||||||||||||||
нескінченно малу величину називають |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Теореми про границі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Нехай кожна з функцій |
f x та g x |
має |
1) |
lim f x g x |
|
|
|
... |
|
... |
; |
|||||||||||||||||||||
скінченну границю в точці a ,тоді в цій |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) |
lim f x g x |
... |
|
|
|
|
|
... |
; |
|||||||||||||||||||||||
точці виконуються рівності: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x a |
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
lim |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(при lim g x 0 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
lim f x g x |
|
|
|
... |
|
|
... |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
lim cf x ... |
lim f x |
(с – |
стала |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величина) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Якщо функції g x , f x та h x |
визначені |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в околі точки |
x0 , |
крім, |
можливо, |
самої |
|
|
|
|
lim |
f x ... |
|
|
||||||||||||||||||||
точки |
x0 , |
причому |
lim g x lim h x A і |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
g x f x |
h x , то |
|
x x0 |
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Якщо |
функція |
f x |
монотонна |
й |
|
|
lim |
|
f x |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
обмежена при x x0 |
або |
при x x0 , |
то є |
|
x x0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
лівостороння |
|
її |
|
границя |
|
чи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
правостороння границя, тобто |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
... |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Перша важлива границя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Першою важливою границею називають |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
границю, що має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Першу |
|
|
важливу |
|
границю |
|
|
1) |
lim |
sin kx |
|
...; |
|
|
||||||||||||||||||
використовують |
|
для |
обчислення |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
границь |
виразів, |
|
що |
містять |
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
тригонометричні функції: |
|
|
|
|
|
2) |
lim |
... ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
lim |
|
|
arcsin kx |
...; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
lim |
|
arctg kx |
|
|
...; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
lim |
1 cos x |
|
... |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Друга важлива границя
Другою важливою границею називають |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
границю, що має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Наслідки з другої важливої границі: |
|
|
|
|
|
|
|
k |
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1) |
lim |
1 |
|
|
|
... |
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2) |
lim |
log a |
1 x |
|
... |
, при a e |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
lim |
ln 1 x |
... |
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3) |
lim |
|
a x 1 |
... |
, |
при a e |
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
lim |
|
ex |
|
1 |
... |
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4) |
lim |
1 x k |
1 |
... |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Еквівалентність нескінченно малих функцій |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Нехай x , x – нескінченно малі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функції при x x0 , тобто |
lim x 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim x 0 . Припустимо, |
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що є скінченна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x x0 |
|
x k , де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або нескінченна границя |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x x0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k– дійсне число або . Тоді:
1)якщо k 0 і k R , то нескінченно
малі функції x і x називають |
|
|
|
|
… |
; |
|||
2) якщо k 0 , |
то |
нескінченно |
малу |
|
|
|
|
; |
|
x називають |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
3) якщо k 1, |
то |
нескінченно |
малі |
|
|
|
|
|
|
x і x називають еквівалентними |
… |
|
|
і позначають |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x ... |
x ; |
|
4) якщо k , |
то |
нескінченно |
малу |
|
|
|
|
|
|
x називають |
|
|
|
|
|
|
|
… |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) функцію |
|
x |
називають |
|
|
|
|
|
|
нескінченно малою |
р-го порядку |
lim |
x |
|
... |
, k 0, k . |
|||
відносно x при x x0 , якщо |
|
|
|
||||||
|
x p |
||||||||
|
x x0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|