Тетрадь 3 (функция одной переменной)
.pdfУчимося самостійно розв’язувати завдання
6.18.
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|||||||||||||||
Дослідіть |
|
функцію |
Дослідіть |
|
|
|
функцію |
Дослідіть |
|
|
функцію |
|||||||||||||||||||
y (х 1)2 (х 5)2 |
|
|
на |
y х2 ln(1 2x) |
на |
y 2sin x cos2x |
на |
|||||||||||||||||||||||
монотонність |
|
|
|
|
|
|
та |
монотонність |
|
|
та |
монотонність |
|
|
|
та |
||||||||||||||
екстремуми. |
|
|
|
|
|
|
|
екстремуми. |
|
|
|
|
екстремуми. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Скористайтесь |
ал- |
|
|
|
Скористайтесь |
ал- |
|
|
Скористайтесь ал- |
|||||||||||||||||||||
горитмом |
|
дослід- |
|
|
|
горитмом |
дослід- |
|
|
горитмом |
дослід- |
|||||||||||||||||||
ження |
|
функції на |
|
|
|
ження |
функції на |
|
|
ження |
функції на |
|||||||||||||||||||
монотонність |
та |
|
|
|
монотонність |
та |
|
|
монотонність |
та |
||||||||||||||||||||
екстремуми. |
|
|
|
|
екстремуми. |
|
|
|
екстремуми. |
|
||||||||||||||||||||
6.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|||||||||||||||
Знайдіть |
найбільше |
та |
Знайдіть |
найбільше |
та |
Знайдіть |
найбільше |
та |
||||||||||||||||||||||
найменше |
|
значення |
найменше |
|
|
значення |
найменше |
|
|
значення |
||||||||||||||||||||
функції |
y |
|
х |
|
|
3 |
|
на |
функції |
|
|
y x2 ln x |
на |
функції |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
sin x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
відрізку 5; 1 . |
|
|
|
відрізку |
е |
|
;1 . |
|
|
2 |
cos 2x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на відрізку |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Скористайтесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь |
|
|
|
Скористайтесь |
||||||||||||||||
алгоритмом |
|
|
зна- |
|
|
|
алгоритмом |
зна- |
|
|
алгоритмом |
зна- |
||||||||||||||||||
ходження найбіль- |
|
|
|
ходження |
найбіль- |
|
|
ходження найбіль- |
||||||||||||||||||||||
шого |
та |
наймен- |
|
|
|
шого |
|
та |
наймен- |
|
|
шого |
та |
наймен- |
||||||||||||||||
шого |
|
|
|
значення |
|
|
|
шого |
|
|
значення |
|
|
шого |
|
|
значення |
|||||||||||||
функції на відрізку. |
|
|
|
функції на відрізку. |
|
функції на відрізку. |
|
|||||||||||||||||||||||
6.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|||||||||||||||
Знайдіть |
|
найменше |
Знайдіть |
|
|
|
найменше |
Знайдіть |
|
|
найбільше |
|||||||||||||||||||
значення |
|
|
|
|
функції |
значення |
|
|
|
|
функції |
значення |
|
|
|
|
функції |
|||||||||||||
y х4 2х2 5 |
|
|
|
на |
|
х |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
y xе х |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
інтервалі |
0; . |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
на |
інтервалі |
на інтервалі 0; . |
|
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
х |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Скористайтесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь |
|
|
|
Скористайтесь |
||||||||||||||||
алгоритмом |
|
|
зна- |
|
|
|
алгоритмом |
зна- |
|
|
алгоритмом |
зна- |
||||||||||||||||||
ходження найбіль- |
|
|
|
ходження |
найбіль- |
|
|
ходження найбіль- |
||||||||||||||||||||||
шого |
та |
наймен- |
|
|
|
шого |
|
та |
наймен- |
|
|
шого |
та |
наймен- |
||||||||||||||||
шого |
|
|
|
значення |
|
|
|
шого |
|
|
значення |
|
|
шого |
|
|
значення |
|||||||||||||
функції |
на |
|
відкритому |
функції |
|
|
|
на |
|
відкритому |
функції |
на |
|
відкритому |
||||||||||||||||
інтервалі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
інтервалі. |
|
|
|
|
|
|
інтервалі. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
163 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.21.
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|||||||||||||
Дослідіть |
|
|
|
функцію |
Дослідіть |
|
|
функцію |
Дослідіть |
|
функцію |
|||||||||||||||||||
y |
2x3 х |
|
|
|
|
та |
y |
|
х 2 |
|
та |
побу- |
y arctg |
1 x |
та |
побу- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
||||||||||||||||
(х 2)3 |
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
побудуйте її графік. |
|
|
дуйте її графік. |
|
дуйте її графік. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Скористайтесь |
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь |
|
|
|
|
Скористайтесь |
|||||||||||||
|
|
схемою |
дослід- |
|
|
|
|
схемою досліджен- |
|
схемою |
дослід- |
|||||||||||||||||||
|
|
ження функції. |
|
|
|
|
|
|
ня функції. |
|
|
ження функції. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|||||||||||||
Прямокутний |
|
лист |
З кулі радіуса 5 см |
Потрібно |
|
виготовити |
||||||||||||||||||||||||
бляхи |
має |
|
лінійні |
виготовили |
|
циліндр |
відкритий |
циліндрич- |
||||||||||||||||||||||
розміри 5 8 дм. У |
найбільшого |
|
об’єму. |
ний бак |
місткістю |
V. |
||||||||||||||||||||||||
чотирьох |
|
кутах |
вирі- |
Знайдіть |
|
|
розміри |
Матеріал, |
з |
|
якого |
|||||||||||||||||||
зають однакові квад- |
циліндра. |
|
|
|
|
виготовляють дно бака |
||||||||||||||||||||||||
рати |
та |
виготовляють |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коштує |
|
|
P грн/м2 , |
а |
||||||||||||
відкриту |
коробку, |
для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матеріал, |
|
з |
|
якого |
|||||||||||||||
чого |
загинають |
лист |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
виготовляють |
стінки |
||||||||||||||||||
під |
прямим |
кутом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бака, |
коштує P грн/м2. |
||||||||||||||||||
Якою |
є |
|
|
|
найбільша |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Яким |
|
|
|
має |
|
бути |
||||||||||
місткість коробки? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відношення радіуса дна |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до висоти бака, щоб |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
витрати |
|
|
на |
матеріали |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
були мінімальними? |
|
|||||||
|
|
Уведіть |
доцільну |
|
|
|
|
Уведіть |
доцільну |
|
Уведіть |
доцільну |
||||||||||||||||||
|
|
систему |
позна- |
|
|
|
|
систему позначень: |
|
систему |
|
позна- |
||||||||||||||||||
|
|
чень: |
|
|
позначте |
|
|
|
|
позначте |
|
висоту |
|
чень: |
|
позначте |
||||||||||||||
|
|
сторону |
квадрата |
|
|
|
циліндра |
через х |
|
радіус |
циліндра |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0; |
|
|
|
|||||
через |
х |
|
|
x |
|
0; 2,5 |
|
та |
|
x |
0;10 |
|
та |
виразіть |
через |
х |
|
|
|
та |
||||||||||
виразіть об’єм коробки |
|
як |
об’єм циліндра |
як функцію |
виразіть |
|
|
вартість |
цилін- |
|||||||||||||||||||||
функцію х. Переформулюй- |
висоти. |
|
Переформулюйте |
дричного баку |
як функцію |
|||||||||||||||||||||||||
те задачу: знайти найбіль- |
задачу: |
знайти |
|
найбільше |
радіуса основи. Пере- |
|||||||||||||||||||||||||
ше значення |
|
функції |
|
на |
значення |
|
|
функції |
на |
формулюйте задачу: знайти |
||||||||||||||||||||
відрізку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
відрізку. |
|
|
|
|
|
|
найменше значення функції |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на відкритому інтервалі. |
|
164
Учимося застосовувати CAS Mathematica для обчислення екстремуму функції
6.23. Опір на вигин балки прямокутного поперечного перерізу є пропорційним добутку ширини цього перерізу на квадрат його висоти. Якими повинні бути розміри перерізу балки, що вирізано зі стержня діаметра d, щоб її опір на вигин був найбільшим (щоб балка мала найбільшу міцність) ?
Хід обчислення.
1.Відкрийте вікно CAS Mathematica.
2.За допомогою опції Palettes-Classroom Assistant викличте вкладки з шаблонами для набору символів.
3.У вкладці Classroom Assistant знайдіть меню Basic Commands й
активізуйте кнопку . В отриманому вікні виберіть у шаблонах команд
відповідно .
4. Після введення за допомогою шаблонів виразу функції kx d 2 x2 при якихось заданих значеннях, наприклад k=6 та d=5, зазначте змінну х і з якого її значення можна розпочати пошук максимального. За допомогою
опції Evaluetion-Evaluete Cells викличте з мітками |
й |
обчислення |
максимального значення х. |
|
|
5. Отримайте максимальне значення х. |
|
|
165
Готуємось до контрольної роботи
1. |
Знайдіть границю послідовності lim |
5n2 3n 1 |
. |
||
n2 6n |
|
||||
|
n |
|
Скористайтесь основною властивістю дробу для отримання в чисельнику і знаменнику дробу суми нескінченно малих послідовностей.
2. Знайдіть границі функцій: а) lim |
1 cos 5x |
|
; б) lim |
2x2 |
4x 2 |
. |
|
x ln 1 2x |
x2 |
2x 3 |
|||||
x 0 |
x 1 |
|
Скористайтесь: властивостями границь функцій; наслідками з другої важливої границі або еквівалентностями для нескінченно малих функцій (для приклада а)); розкладанням квадратичних тричленів на множники для збавлення від невизначенності (для приклада б)).
3. Покажіть, що функція y x sin 2x |
задовольняє рівнянню y 4y 4x. |
||||
|
|
Скористайтесь таблицею похідних, щоб знайти похідні 1-го і 2-го порядку для |
|||
завданої функції. |
|
|
|
||
4. Швидкість матеріальної точки, |
що рухається вздовж прямої v 2t 2 4t . |
||||
Знайдіть її прискорення через 3 с після початку руху? |
|||||
|
|
Скористайтесь механічним змістом похідної. |
|||
|
* |
|
|
1 |
x |
5 |
|
. Знайдіть похідну функції y 1 |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
Скористайтесь наступною послідовністю дій для логарифмічного диференціювання: прологарифмуйте обидві частини рівняння; продиференціюйте
отримані обидві частини; виразіть y/ . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
cos x, |
|||||
6 |
* |
. Дослідіть на неперервність функцію |
|
2 |
1, |
0 x 1, Побудуйте її |
||
|
f (x) x |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
, |
x 1. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x 3 |
|
|
графік.
Скористайтесь визначенням неперевності функції і класифікацією точок розриву для граничних значень завданих проміжків і точок, що не належать області визначення функції.
7*. Чому повинна дорівнювати висота прямого кругового конуса, так що б при заданій довжині твірної L конус мав найбільший об’єм?
166
ВІДПОВІДІ
до тестових завдань підрозділу «Перевіряємо готовність до практичного заняття» Тема 1.
1.1. В. 1.2. Б. 1.3. Д. 1.4. Б. 1.5. А. 1.6. Г. 1.7. Г. 1.8. Д. 1.9. 1-А, 2-В, 3-Д, 4-Г.
Тема 2.
2.1. Б. 2.2. Д. 2.3. Г. 2.4. А. 2.5. В. 2.6. В. 2.7. Г. 2.8. Б. 2.9. Б. 2.10. Д. 2.11. Д. 2.12. В. 2.13. А. 2.14. Б. 2.15. А. 2.16. В.
Тема 3. 3.1. Г. 3.2. А. 3.3. Д. 3.4. В. 3.5. Г. 3.6. Б. 3.7. А.
Тема 4.
4.1. В. 4.2. Д. 4.3. Б. 4.4. В. 4.5. А. 4.6. Г. 4.7. Б. 4.8. Г. 4.9. А. 4.10. Г. 4.11. В. 4.12. Б.
Тема 5.
5.1. Г. 5.2. Б. 5.3. В. 5.4. А. 5.5. Б. 5.6. Д. 5.7. В.
Тема 6.
6.1. А. 6.2. Б. 6.3. Г. 6.4. А. 6.5. 1-Г, 2-А, 3-В, 4-Б. 6.6. А. 6.7. Д. 6.8. А. 6.9. А. 6.10. А. 6.11. Г. 6.12. В.
ВІДПОВІДІ
до завдань підрозділу «Учимося самостійно розв’язувати завдання» Тема 1.
1.21. (І) 52 . (ІІ) 18 . (ІІІ) 65 . 1.22. (І) 1. (ІІ) 0. (ІІІ) 4. 1.23. (І) 0. (ІІ) . (ІІІ) 32 .
1.24 (І) 0. (ІІ) -1. (ІІІ) -1. 1.25. (І) -3. (ІІ) 12 . (ІІІ) 12 . 1.26. (І) 1. (ІІ) 43 . (ІІІ) 2.
1.27. (І) 1. (ІІ) 12 . (ІІІ) 1.
168
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.27. |
(І) 2.(ІІ)0. |
(ІІІ) . |
2.28. (І) |
|
. |
(ІІ) |
|
. (ІІІ) |
. |
2.29. (І) 0. (ІІ) |
. (ІІІ) |
|
7 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.30. |
(І) 0. (ІІ) |
|
|
83 18 |
. |
|
(ІІІ) 0. |
|
2.31. (І)0. (ІІ) |
1 |
. |
|
|
(ІІІ)16. |
2.32. (І) 0. (ІІ)0при |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
х ; |
при х .(ІІІ) 1при х ; |
-1при х .2.33. (І) |
|
3 |
. (І) 6. (ІІІ) |
|
|
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.34. |
(І) |
е 1. (ІІ) |
е12 . (ІІІ) -2. 3.35. |
(І) е 6 . |
|
(ІІ) |
е15 . |
(ІІІ) е2 . |
3.36. (І) |
1 |
. (ІІ) |
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
(ІІІ) 0. 2.37. (І) |
|
1 |
. (ІІ) |
3 |
. (ІІІ) -1. |
3.38. (І) |
|
1 |
. (ІІ) |
1 |
|
. (ІІІ) 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
4 |
2 |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.11. |
(І) функція неперервна при |
х [0;7) |
(7;10], х 7 точка розриву ІІ роду. |
(ІІ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функція неперервна при |
х [ 10; 6) |
( 6;6) |
|
(6;10], х 6 точки розриву ІІ роду. |
(ІІІ) функція неперервна при х ( 1;1], х 1 точка розриву ІІ роду. 3.12. (І) в точці х 0 функція неперервна, х 2 точка розриву ІІ роду; графік функції зображено на рис. 8.1. (ІІ) в точці х 3 функція неперервна, х 0 точка розриву І роду; графік функції зображено на рис. 8.2. (ІІІ) в точці х 1 функція неперервна, х 1 точка розриву ІІ роду; графік функції зображено на рис. 8.3. 3.13. (І) х 0, х точки розриву І роду; графік функції зображено на рис. 8.4. (ІІ) х n (n Z ) точки розриву ІІ роду, х 0, х 1 точки розриву І роду; графік функції зображено на рис. 8.5. (ІІІ) при а 1 функція неперервна на R; графік функції при а 1 зображено на рис. 8.6.
Рис. 8.1. Графік функції до задачі 3.12 (І рівень)
169
Рис. 8.2. Графік функції до задачі 3.12. (ІІ рівень)
Рис. 8.3. Графік функції до задачі 3.12 (ІІІ рівень)
Рис.8.4. Графік функції до задачі 3.13 (І рівень)
170
Рис. 8.5. Графік функції до задачі 3.13 (ІІ рівень)
Рис. 8.6. . Графік функції до задачі 3.13 (ІІІ рівень)
171