Тетрадь 3 (функция одной переменной)
.pdf
Диференціал функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y f (x) обчислюють за формулою dy f (x)dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
5.2. Запишіть вираз x5dх у вигляді диференціала? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
А |
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
В |
|
Г |
|
|
|
|
Д |
|
|
|
dx6 |
|
|
|
|
1 |
dx6 |
|
|
|
|
|
5dx4 |
|
dx4 |
|
|
|
|
інша |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
відповідь |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Диференціал функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y f (x) обчислюють за формулою dy f (x)dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
5.3. Оберіть хибну рівність. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
А |
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
В |
Г |
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
dх |
|
|
|
|
|
dх |
|
|
|
|
|
|
dх |
1 |
|
|||||
xdх 0,5d (x2 ) |
|
|
|
|
d (ln x) |
|
|
|
|
|
d (tgx) |
exdх d (ex ) |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|||
|
|
x |
|
cos |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
Диференціал функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y f (x) обчислюють за формулою dy f (x)dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
5.4. Оберіть правильну формулу для приблизного обчислення функції.
|
x |
А |
ln(x x) ln x x |
Б |
(1 x)n 1 n x |
В |
cos(х x) cos x sin x x |
Г |
sin( x) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
х x |
х |
|
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для приблизного |
обчислення |
значення |
функції |
|
|
використовують формулу |
|||||||||||
f (x x) f (x) f (x) x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.5. |
|
Укажіть, |
для |
яких невизначеностей |
|
|
можна |
безпосередньо |
|||||||||
застосовувати правило Лопіталя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
А |
|
|
Б |
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
Д |
||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило Лопіталя застосовується для розкриття так званих «основних»
невизначеностей – невизначеностей виду |
0 |
та |
. |
|
|||
|
0 |
|
|
113
5.6. |
Укажіть, |
для обчислення яких границь, з наведених нижче, не можна |
||||||||||||||||||
застосувати правило Лопіталя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
А |
|
|
Б |
|
|
|
В |
Г |
|
Д |
|||||||||
|
x5 1 |
|
|
|
x5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
lim |
|
|
lim |
|
|
x 2 |
|
lim |
ln x |
|
lim |
ln x |
|
||||||
x3 x 2 |
|
x 2 |
|
x2 4 |
ex |
|
|
|
||||||||||||
x 1 |
x x3 |
|
x 4 |
x |
|
x 0 |
х |
|||||||||||||
|
Правило Лопіталя застосовується для розкриття так званих «основних» |
|||||||||||||||||||
невизначеностей – невизначеностей виду |
|
0 |
|
та . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.7. Визначте, в якому з наведених прикладів правильно застосовано правило Лопіталя.
|
А |
|
|
|
lim |
ex |
|
lim |
ex lim |
ex |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
x 0 |
x |
x 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x 1 ln x |
||||||||||
|
Б |
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
В |
|
|
|
lim |
ln x |
lim |
ln x |
lim |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x x |
|
|
|||||||||||||||
|
Г |
|
lim |
ex 1 |
|
lim |
ex 1 |
lim |
ex |
|
lim |
ex |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
x 0 |
|
x 0 1 |
|
|
|
x 0 |
|||||||||||||||||
|
Д |
|
|
|
lim |
|
ln x |
lim |
ln x |
lim |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|||||||||||||||
Нехай функції |
f x , g x задовольняють умовам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) |
визначені й диференційовані в околі точки x0 , за винятком, можливо, самої точки x0 , |
||||||||||
причому g x 0 у цьому околі; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
lim f x lim g x 0 , тобто f x , g x – одночасно малі при x x0 ; |
||||||||||
|
x x0 |
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
є скінченна границя lim |
f x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x x0 |
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді є границя відношення функції lim |
f x |
і |
lim |
f x |
lim |
f x |
. |
||||
|
g x |
|
|||||||||
|
|
|
|
x x0 |
g x |
x x0 |
x x0 |
g x |
|||
|
|
Нехай функції f x , g x задовольняють умовам: |
|
|
|||||||
1) |
визначені й диференційовані в околі точки x0 ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
114 |
|
|
|
|
|
|
2) lim f x lim g x , |
g x 0 у цьому околі; |
|
|
|
|
|||||||
x x0 |
x x0 |
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) є скінченна границя lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x x0 |
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді є границя відношення функцій lim |
f x |
і |
lim |
f x |
lim |
f x |
. |
|||||
|
|
|
|
x x0 |
g x |
|
|
x x0 |
g x |
x x0 |
g x |
|
Учимося розв’язувати типові задачі
5.8. Знайдіть диференціал функції y lnsin 2x : а) при довільних значеннях x і x ;
б) при x 8 ;
в) при x |
|
і x 0,1. |
|
8 |
|
Хід розв’язання.
Крок 1. Знайдіть похідну функції y lnsin 2x .
y lnsin 2x |
1 |
|
... |
... |
|
|
|||||
... |
|||||
|
|
|
|
Застосуйте формули диференціювання складених функцій: lnU U1 U , де
|
|
cosU U , де U 2x . |
U sin 2x та sinU |
||
Крок 2. Знайдіть диференціал функції y lnsin 2x . |
||
dy |
... |
dx |
Для |
знаходження диференціала функції y f (x) застосуйте формулу |
|
dy f (x)dx . |
|
|
115
|
Крок 3. Знайдіть значення диференціала dy 2ctg2xdx при x . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
2ctg 2 ... dx |
|
|
2dx |
|
|
|
|
dy |
x |
|
... |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставте значення x |
|
у формулу dy 2ctg2xdx . |
|
|
|
||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
Крок 4. Знайдіть значення диференціала dy 2ctg2xdx |
при x |
|
і |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
x 0,1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2ctg 2 ... |
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
dy |
x |
... |
... |
|
|
|
|||
|
, x 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь тим, що диференціал dx незалежної змінної x |
збігається з її |
||||||
приростом x . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Підставте значення x |
|
і x dx 0,1 |
у формулу dy 2ctg2xdx . |
|
|
||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
Відповідь: а) dy 2ctg2xdx ; б) dy 2dx ; в) dy 0,2.
5.9. Знайдіть наближене значення sin 46 .
Хід розв’язання.
Крок 1. |
Розгляньте функцію f (x) sin x та знайдіть її похідну. |
|
|
|
... |
f (x) sin x |
||
Застосуйте формулу: sin x cos x .
Крок 2. Запишіть формулу наближених обчислень за допомогою диференціала для функції f (x) sin x . Маємо:
116
f (x) sin x |
|
f (x x) |
... |
sin(... ...) sin x |
... ... |
Для наближених обчислень значень функції використовують формулу:
f (x x) f (x) f (x) x . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Крок |
3. |
Обчисліть |
наближене значення sin 46 . Для |
цього |
в |
||||||
отриманій |
формулі |
для |
наближених обчислень покладіть |
x |
|
і |
||||||
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0,017 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin x x sin x cos x x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ... cos ... ... |
|
|
|
|
sin 46 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4 |
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь тим, що sin 46 sin 45 1 sin |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
4 |
|
180 |
|
|
Згадайте значення sin |
|
|
|
2 |
, |
cos |
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
2 |
|
|
4 |
|
2 |
|
||
Відповідь: sin 46 0,72. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.10. Знайдіть d 3 y , якщо y cos3x . |
|
|
|
|
|
|||||||
Хід розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 1. Знайдіть похідні |
|
|
|
|
функції y cos3x . |
|||||||
y , y , y |
|
|||||||||||
y cos3x |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3sin 3x |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 9cos3x |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
Застосуйте формули диференціювання складених функцій: cosU sinU |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та sinU cosU U . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Крок |
2. |
Знайдіть |
диференціал |
третього |
порядку |
d 3 y |
функції |
||||||||
y cos3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 3 y |
|
... |
|
dx3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n им диференціалом d n y функції |
y f (x) або диференціалом |
n го порядку |
||||||||||||
називається |
|
диференціал |
від |
диференціала |
n 1 го |
порядку: |
|||||||||
d n y d d n 1 y f n (x)dxn . Отже, |
d 3 y f (x)dx3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
Відповідь: |
d 3 y 27sin3xdx3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.11. Обчисліть границю lim |
e5 x e3x |
за правилом Лопіталя. |
|
|
|
||||||||||
sin 3x sin x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||
Хід розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Крок 1. |
З’ясуйте, як поводять себе чисельник і знаменник дробу при |
||||||||||||||
x 0 |
і визначте вид |
невизначеності. |
Для цього підставте |
граничне |
|||||||||||
значення аргументу x 0 у функцію, для якої обчислюється границя. |
|
||||||||||||||
|
e0 |
e0 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 0 |
sin 0 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
При |
x 0 |
чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду |
|
. |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Крок 2. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення вказаної границі. Для цього продиференціюйте чисельник та знаменник дробу
e5 x e3x . sin 3x sin x
118
|
e5 x e3x |
|
0 |
|
e5 x e3x |
|
... |
... |
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
lim |
|
|
|
sin 3x sin x |
|
sin 3x sin x |
|
... |
||||||
x 0 |
|
0 |
x 0 |
x 0 ... |
|
|||||
|
Теорема (правило Лопіталя розкриття невизначеності |
0 |
). Нехай функції |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
f x , |
g x задовольняють умовам: |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1) визначені й диференційовані в околі точки |
x0 , за винятком, можливо, самої |
|||||||||||||
|
точки x0 |
, причому g x 0 у цьому околі; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2) lim f x lim g x 0 , тобто f x , g x – одночасно малі при x x0 ; |
||||||||||||||
|
x x0 |
x x0 |
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) є скінченна границя lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x x0 |
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
lim |
f x |
lim |
|
f |
|
x |
|
|
|
Тоді є границя відношення функції lim |
і |
|
|
. |
||||||||||
|
|
g x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x x0 |
g x |
x x0 |
x x0 |
|
g x |
||||||
Застосуйте формули диференціювання складених функцій: eU eU U та
|
|
cosU U . |
|
|
||
sinU |
|
|
||||
|
Крок 3. З’ясуйте, |
як поводять себе чисельник і знаменник дробу |
||||
|
5e5 x |
3e3x |
|
|
||
|
|
|
при x 0 . Обчисліть отриману границю. |
|||
|
|
|
||||
|
3cos3x cos x |
|
|
|||
|
|
5e0 3e0 |
|
|
||
|
lim |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|||
|
x 0 |
3cos0 cos0 |
|
|
||
|
|
Підставте граничне |
значення аргуметна x 0 у чисельник і знаменник |
|||
отриманого виразу. Значення функцій y cos x та y ex |
для x 0 : cos 0 1, e0 1 . |
|||||
|
|
При x 0 чисельник і знаменник дробу є |
скінченно величинами, тобто |
|||
невизначеності немає. |
|
|
||||
Відповідь: 1.
119
5.12. Обчисліть границю lim ln sin 5x за правилом Лопіталя. x 0 ln sin 2x
Хід розв’язання.
Крок 1. З’ясуйте, як поводять себе чисельник і знаменник дробу при x 0 і визначте вид невизначеності. Для цього, підставте граничне значення аргументу x 0 у функцію, для якої обчислюється границя.
|
ln sin 0 |
|
... |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 0 |
ln sin 0 |
|
... |
|
|
Згадайте значення функції y sin x для x 0 : sin 0 0 . Скористайтесь тим, що якщо x 0 , то ln x .
При x 0 чисельник і знаменник дробу є нескінченно великими функціями. Відношення двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду
.
Крок 2. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення вказаної границі. Для цього знайдіть похідні чисельника та знаменника дробу
ln sin 5x . ln sin 2x
lim ln sin 5x x 0 ln sin 2x
|
|
|
ln sin 5x |
|
|
|
lim |
|
lim |
|
||||
|
|
x 0 |
ln sin 2x |
x 0 |
|
|
1 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
... |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
... |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (правило Лопіталя розкриття невизначеності |
). Нехай функції |
|||
f x , |
g x задовольняють умовам: |
|
|
||
|
|
||||
|
1) |
визначені й диференційовані в околі точки x0 , за винятком, можливо, самої |
|||
|
|
точки x0 , причому g x 0 у цьому околі; |
|
|
|
|
2) |
lim f x lim g x , тобто f x , g x |
– одночасно великі при x x0 ; |
||
|
|
x x0 |
x x0 |
|
|
|
|
|
120 |
|
|
3) є скінченна границя lim |
f x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x x0 |
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
lim |
f x |
lim |
f |
|
x |
|
|
Тоді є границя відношення функції lim |
і |
|
. |
|||||||||
|
|
g x |
|
|
|
|||||||
g x |
|
|
||||||||||
|
|
x x0 |
|
x x0 |
x x0 |
g x |
||||||
Застосуйте формули диференціювання складених функцій: lnU U1 U та
|
|
|
|
cosU U . |
|
|
|
|
|||||||
sinU |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Крок 3. |
З’ясуйте, |
як поводять себе чисельник і знаменник дробу |
||||||||||
|
5 |
|
tg 2x |
|
при x 0 . |
|
|
|
|||||||
2 |
tg5x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
lim |
5 |
|
tg0 |
|
|
... |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x 0 |
2 |
|
tg0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Підставте |
граничне |
значення аргуметна x 0 у чисельник і знаменник |
|||||||
отриманого виразу. Згадайте значення функції y tg x для x 0 : tg 0 0 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
При |
x 0 |
чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими величинами. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду |
|
. |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
Крок 4. |
Зважаючи, |
що x 0 , в чисельнику і знаменнику дробу |
||||||||||
|
5 |
|
tg 2x |
|
функції tg2x і tg5x можна замінити еквівалентними нескінченно |
||||||||||
2 |
tg5x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
малими функціями. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
При |
x 0 |
|
|
|
|
|||||||
tg 2x ~ tg 5x ~
Скористайтесь тим, що коли x 0 , то tg x ~ x .
121
Крок 5. Підставте відповідні еквівалентні нескінченно малі функції у
границю |
lim |
5 |
|
tg2x |
, проведіть скорочення дробу та обчисліть значення |
|||||||
2 |
tg5x |
|||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
||||||
границі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
|
tg2x |
|
|
|
0 |
|
|||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
x 0 |
2 |
|
|
tg5x |
|
|
|
0 |
|
|||
У результаті проведених перетворень дріб скорочується на x , що позбавляє функцію невизначеності при x 0 .
Відповідь: 1.
5.13. Обчисліть границю lim x e x за правилом Лопіталя.
x
Хід розв’язання.
Крок 1. З’ясуйте, як поводить себе кожен множник під знаком границі при x і визначте вид невизначеності.
lim x e x ... ...
x
Скористайтесь тим, що при x маємо, що e x 0 .
При x перший множник є нескінчено великою, а другий – нескінчено малою функцією. Добуток нескінченно великої та нескінченно малої функції
позначається невизначеністю виду 0 .
Крок 2. Запишіть добуток x e x у вигляді частки функцій. З’ясуйте вид невизначеності в отриманій границі.
lim x e x 0 lim |
x |
|
... |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
x |
x ... |
|
... |
|
|
|||
Для функції e x скористайтесь тим, що e x |
1 |
. |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
122 |
|
|
||