Лекция 14, 15, 16.

(САМОСТОЯТЕЛЬНО)

Взаимозаменяемость зубчатых передач. Классификация зубчатых передач. Система допусков для цилиндрических зубчатых передач. Кинематическая точность, плавность работы, контакт зубьев и боковой зазор в передаче. Системы точности зубчатых колёс. Комплексы контролируемых параметров и их выбор. Обозначение точности зубчатых передач на чертежах.

Лекция 17.

Статистические методы оценки погрешностей оценки изготовления и измерения. Законы распределения вероятностей случайных величин. Определение параметров эмпирического распределения. Гистограмма и эмпирическая кривая распределения.

На практике часто возникают необходимость в анализе соответствия точности выбранного технологического процесса заданной точности изделия, задачи управления качеством продукции, задачи оценки точности методов и средств измерения.

Решение этих задач производится в основном путём математической обработки эмпирических данных, полученных многократными измерениями с привлечением методов теории вероятности и математической статистики.

Как при изготовлении, так и при измерении возникают две категории погрешностей: систематические и случайные.

Систематическими называются погрешности, постоянные по величине и знаку или изменяющиеся по определённому закону (например, износ инструмента, температура в помещении).

Во многих случаях систематическую погрешность можно устранить или учесть в результатах измерений.

Случайными называются непостоянные по величине и закону погрешности, которые возникают при изготовлении или измерении и принимают то или иное числовое значение в зависимости от случайно действующих причин (например, колебание припуска на обработку, погрешности базирования, колебание физико-механических свойств, попадание песчинки под измерительный наконечник, нагрев детали от тепла рук).

Случайные погрешности невозможно полностью устранить.

Появление того или иного числового значения случайной величины в результате массовых испытаний рассматривается как случайное событие, т.е. такое, которое может произойти или не произойти.

Отклонение числа n случаев появления события А к числу N произведённых испытаний, при которых это событие могло появится, называется относительной частотой или частостью события А

При большом числе испытаний N частость события А становится устойчивой, и значение W(А) будет колебаться около некоторого постоянного числа. Это число, меньше единицы, называется вероятностью Р(А) появления А.

Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равно нулю.

Зависимость между числовыми значениями случайной величины и вероятность их появления устанавливается законом распределения вероятностей случайных величин.

Так, рассеяние значений эксцентриситетов, погрешностей формы и расположения, неуравновешенности и тому подобных величин, которые могут иметь только положительные значения, обычно подчиняются закону эксцентриситета или закону Максвелла.

у

х

Рассеяние отказов, т.е. нарушений работоспособности машин наиболее часто подчиняется закону Вейбулла или экспоненциальному закону.

у

х

Рассеяние значений случайной величины, измерение которой зависит от большого числа факторов, когда ни один из них не имеет преобладающего значения, подчиняется закону нормального распределения вероятностей или закону Гаусса.

у

х

-3σ +3σ

а

Случайные погрешности, подчиняющиеся закону нормального распределения, характеризуются тем, что малые по величине погрешности встречаются чаще, чем большие; отрицательные и положительные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются одинаково часто.

Кривая изображающая плотность распределения вероятности по нормальному закону, описывается уравнением

.

где: у – плотность распределения вероятности;

а – параметр распределения, равный математическому ожиданию М(х) случайной величины х;

σ – параметр распределения, равный среднеквадратическому отклонению случайной величины х;

х – аргумент функции плотности вероятности - ∞ < х < + ∞.

Площадь, ограниченная кривой нормального распределения и осью абсцисс, равна вероятности того, что случайная величина попадёт в интервал от - ∞ до + ∞, т.е. равна единице

.

Вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал -3σ, +3σ равна 0,9973, т.е. вероятность выхода случайной величины за пределы ±3σ равна 0,0027 или 0,27 %.

Поэтому интервал ±3σ принимают за практически предельное поле рссеяния случайной величины.

Кривая плотности вероятности нормального распределения симметрична относительно максимальной ординаты. Величина параметра а равна математическому ожиданию М(х) случайной величины х.

где х_i – возможное значение случайной дискретной величины;

Р(х_i) – вероятность значения х_i случайной дискретной величины.

С изменением величины а=М(х) например, под влиянием систематических погрешностей, вся кривая нормального распределения перемещается вдоль оси х.

Параметр σ называется среднеквадратическим отклонением случайной величины

Рассеяние случайных величин характеризуется так же дисперсией D(х)=.

На практике часто возникает необходимость определить вероятность того, что случайная величина х попадёт в интервал х₁-х₂ выразится интегралом

Так как подынтегральная функция чётная и кривая симметрична относительно максимальной ординаты, можно интеграл вероятности заменить интегралом с пределами интегрирования 0 – х.

Выполним замену переменной, выразив х в долях σ т.е. откуда х=z·σ; dx=σ·dz. При этом интеграл примет вид

Интегральная функция Ф₀(z) называется нормированной функцией Лапласа. Следует отметить, что

Ф₀(0) = 0; Ф₀(-z) = -Ф₀(z); Ф₀(-∞) = -0,5; Ф₀(+∞) = 0,5.

Численные значения этой функции приведены в справочниках. Например, при z=3, т.е. при х = 3σ Ф₀(3)=0,49865. Вероятность попадания х в пределы ±3σ равна 2· Ф₀(3)=0,9973.

Как мы уже отмечали ранее, при распределении случайной величины по закону Гаусса, поле рассеяния ±3σ принимают за практически предельное поле рассеяния случайной величины. При этом вероятность выхода случайной величины за пределы ±3σ равна 0,0027.

Подставляя вместо z заданное число, мы из справочника легко определим значение Ф₀, а удвоив его получим вероятность попадания случайной величины в пределы ±х = z·σ.

Определение параметров эмпирического распределения.

Рассмотрим следующую задачу – необходимо оценить точность изготовления деталей. Для анализа возьмём выборку из N деталей и выполним их измерение.

Расположив полученные действительные размеры в порядок возрастания, получим ряд случайных дискретных величин. Разность между наибольшим и наименьшим размерами определит величину размаха R.

Разность между d_max и d_min разобьём на k интервалов. (При N > 50 число интервалов принимают k = 8 – 15).

Затем подсчитываем число деталей в каждом интервале и определим частости ;….

Случайными величинами будем считать размеры x_i, равные среднему арифметическому из размеров каждого интервала. Далее находим среднее арифметическое значение действительных размеров

Таким образом, равно сумме произведений значений середин интервалов x_i на их частости . Величинуиногда называют средневзвешенной.

Рассеяние значений случайных величин в выборке относительно эмпирического центра группирования характеризуется эмпирическим средним квадратическим отклонением

При N > 30 единицу в знаменателе дроби можно опустить.

На следующем этапе из совокупности результатов наблюдений исключают грубые погрешности, т.е. результаты, отличающиеся от более чем на 3S, и вычисляют уточнённые значенияи S.

По полученным данным строят гистограмму, состоящую из прямоугольников. По оси абсцисс откладывают интервалы действительных размеров деталей, а по оси ординат – высоты прямоугольников, соответствующие числу деталей в интервалах.

Соединяя ломаной кривой середины верхних сторон прямоугольников получим эмпирическую кривую распределения. Её называют полигоном.

n_i

х_i

На следующем этапе определяют какому теоретическому закону распределения вероятностей случайной величины соответствует эмпирическое распределение. Для этого используют критерии А. И. Колмогорова, а затем сравнивают характеристики эмпирического и теоретического распределения случайных величин.