- •2. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду. Условия равновесия произвольной системы сил.
- •3. Растяжение и сжатие стержня. Продольная сила. Условия прочности при растяжении.
- •1. Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Метод Крамера и Гаусса.
- •2. Модель идеального совершенного газа. Интеграл Бернулли для адиабатических течений совершенного газа. Сопло Лаваля
- •3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек тела
- •1. Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Размерность
- •3. Движение твердого тела вокруг одной неподвижной точки. Скорости и ускорения точек тела
- •1. Разностные схемы для ур-й мат физики. Явные и неявные разностные схемы, условия их устойчивости. Метод прогонки
- •2. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек тела
- •3. Кручение стержня круглого поперечного сечения. Крутящий момент. Условия прочности и жесткости при кручении.
- •1. Линейные операторы и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Нормальные формы матрицы линейного оператора
- •1. Кривые второго порядка. Их канонические уравнения
- •2. Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений
- •3. Изгиб балки. Нормальные и касательные напряжения. Условие прочности
- •Касательные напряжения в продольных сечениях балки
- •Проверка прочности и подбор сечения балки
- •1. Поверхности второго порядка. Их канонические уравнения
- •2. Уравнения Лагранжа 2-ого рода
- •3. Модель идеальной жидкости. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
1. Линейные операторы и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Нормальные формы матрицы линейного оператора
Пусть заданы линейные пространства X и Y. Правило, по которому каждому элементу x e X ставится в соответствие единственный элемент y Y, называетсяоператором, действующим в линейных пространствах X , Y. Результат действия оператора A на элемент x обозначают y = A x или y = A(x). Если элементы x и y связаны соотношением y = A x, то y называютобразомэлемента x; элемент xпрообразомэлемента y.
Множество элементов линейного пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определенияоператора и обозначают D(A).
Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из области определения оператора A, называют образомоператора и обозначают Im(A). Если y = A x , то x D(A), y Im(A) .
Оператор A, действующий в линейных пространствах X , Y называется линейным оператором, если
и для любых и для любого числа α. Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве X. В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пр-ве X.Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису
Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n и пусть e1, e2, ..., en- базис в X. Обозначим через A e1= (a11,...,an1), ... , A en= (a1n,...,ann) образы базисных векторов e1, e2, ..., en.
Матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называетсяматрицей линейного операторав заданном базисе.
Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения
с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей A.
При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e1, ... , en} к базису e' = {e'1, ... , e'n} . Связь между матрицей Aeоператора A в базисе e и матрицей Ae'этого оператора в базисе e' задается формулой
Здесь - матрица перехода от базиса e к базису e' и обратная к ней.
Опр 2: Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию
А(х)=х, называется собственным вектором преобразования A. Число называется собственным значением. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:
Ах=х, где A – матрица преобразования, x – координатный столбец.
Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов
Найти собственные значения матрицы:
записать характеристическое уравнение: det(A-Е)=0;
найти его корни j, j=1,...,n и их кратности.
Найти собственные векторы матрицы:
для каждого j решить уравнение (A- jE)x=0
найденный вектор х и будет собственным вектором, отвечающим собственному значению j.
Опр 3: Нормальная форма – жорданова. Жордановой клеткой размера с собственным значением называется матрица вида
Жордановой матрицей называется матрица, состоящая из диагональных блоков и нулей вне этих блоков:
2. Одномерные нестационарные течения газа и их характеристики Одномерным называется движение, при котором все характеристики среды зависят 1) или только от расстояния х до некоторой плоскости (плоские волны), 2) или только от расстояния х до некоторой прямой (цилиндрические волны), 3) или только от растояния х до некоторой точки (сферические волны). Плоские волны: Чтобы было движение, действует сила Из уравнений Новье-Стокса следует уравнения движения:
При плоском движении составляющие скорости исохраняются.
В случае одномерного течения с цилиндрическими волнами:
−цилиндрическая система координат
Сохраняется осевая компонента скорости: течения называются закрученными.
В одномерных движениях линии тока и траектории частиц в физическом пространстве являются прямыми линиями
Билет 6