- •2. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду. Условия равновесия произвольной системы сил.
- •3. Растяжение и сжатие стержня. Продольная сила. Условия прочности при растяжении.
- •1. Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Метод Крамера и Гаусса.
- •2. Модель идеального совершенного газа. Интеграл Бернулли для адиабатических течений совершенного газа. Сопло Лаваля
- •3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек тела
- •1. Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Размерность
- •3. Движение твердого тела вокруг одной неподвижной точки. Скорости и ускорения точек тела
- •1. Разностные схемы для ур-й мат физики. Явные и неявные разностные схемы, условия их устойчивости. Метод прогонки
- •2. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек тела
- •3. Кручение стержня круглого поперечного сечения. Крутящий момент. Условия прочности и жесткости при кручении.
- •1. Линейные операторы и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Нормальные формы матрицы линейного оператора
- •1. Кривые второго порядка. Их канонические уравнения
- •2. Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений
- •3. Изгиб балки. Нормальные и касательные напряжения. Условие прочности
- •Касательные напряжения в продольных сечениях балки
- •Проверка прочности и подбор сечения балки
- •1. Поверхности второго порядка. Их канонические уравнения
- •2. Уравнения Лагранжа 2-ого рода
- •3. Модель идеальной жидкости. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
1. Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Размерность
Пусть ― ― произвольное поле,. Мн-вобудем называтьвекторным (линейным) пр-вом над полем , если определены две операции: «+» : , которое ставит в соответствие пареи удовл. след. усл-ям:
1) коммутативность, ;
2) ассоциативность, ;
3) нейтральный элемент, т.ч.;
4) обратный элемент, т.ч..
«» :, которое ставит в соответствие паре, которая наз-ся умножением вектора на скаляр и удовл. след. усл-ям:
1) ассоциативность умн-я на скаляр, ;
2) дистрибутивность умн-я на скаляр, ;
3) ;
4) .
Линейная зависимость. Сис-ма векторов наз-сялинейно зависимой, если коэф-ты, среди которых хотя бы один, что вып-ся усл-е:.
Линейная независимость. Сис-ма векторов наз-сялинейно независимой, если из того, что лин. комбинация .
Критерий линейной зависимости. Сис-ма векторов линейно зависима 1)хотя бы один вектор явл. комбинацией всех остальных; 2) хотя бы один вектор выражается через предыдущие (где).
Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейна зависима.
Базис. Конечная упорядоченная линейно независимая система векторов наз-сябазисом пр-ва ,еслидругой вектор, явл-ся лин. комбинацией этих векторов.
Опр. Если в пр-ве ,есть базис, пр-во наз-сяконечномерным.
Th. вектор единственным образом выражается через базис.
Коорд-ми в-ра в базисе наз-ся коэф-ты разложенияпо базису:,
Координаты суммы двух векторов равны сумме соответствующих коэф-тов.
Координаты произведения вектора на число равны произведению числа на координаты
Число векторов, входящее в базис наз-ся размерностью пространства .
2. Теория звука. Волновое уравнение Движение сжимаемой среды, представляющее собой малые возмущения некоторого равновесного состояния газа, изучается в акустике. Под теорией звука будем понимать малые возмущения среды по отношению к основным величинам.
Запишем уравнения движения среды:
Уравнение состояния
Если − изоэнтропическое течение− уравнение адиабаты Пуассона
Возмущения малы
Преобразуем уравнение неразрывности: (так как)
, так какв силу осн. ур-ния
Покажем, что возмущенное движение является потенциальным
по теореме Томпсона
− для несжимаемой жидкости
используя уравнение состояния (*)
−волновое уравнение.
Малые возмущения покоящегося баротропного газа удовлетворяют волновому уравнению.
3. Движение твердого тела вокруг одной неподвижной точки. Скорости и ускорения точек тела
OL– произвольная ось.и- определяющие углы.
Для определения положения тела с 1-й неподвижной точкой, необходимо использовать 3 параметра.
Углы Эйлера
- угол прецессии
- угол нутации
- угол собственного значения
- ось прецессии
- ось нутации
- ось собственного значения
- закон движения тела вокруг одной неподвижной точки
Теорема Эйлера-Даламбера.Всякое перемещение твердого тела около неподвижной точки можно получить одним только поворотом тела вокруг определенной оси, проходящей через эту точку и называемойосью конечного вращения.
Движение тела около неподвижной точки в каждый данный момент времени осуществляется бесконечно малым поворотом вокруг оси вращения. Существует мгновенная ось вращения в данный момент времени. Такое движение сводится к изучению вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Геометрическое место мгновенных осей вращения в неподвижной системе отсчёта - коническая поверхность, называемая неподвижным аксоидом, а в подвижной системе отсчёта – подвижным аксоидом.
Подвижный и неподвижный аксоиды имеют общую вершину в неподвижной точке, и в каждый момент времени мгновенная ось вращения служит общей образующей для неподвижного подвижного аксоида.
Скорость точек тела. По аналогии с плоскопараллельным движением получаем, что распределение всех скоростейточек тела будет в данный момент времени таким же, как если бы мгновенная ось вращения была бы неподвижнойскоростьлюбой точки тела в данный момент времени можно определить с помощью формулы Эйлера:
Ускорение точек тела.
Причём, - осестремительное
- вращательное
Билет 4