- •2. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду. Условия равновесия произвольной системы сил.
- •3. Растяжение и сжатие стержня. Продольная сила. Условия прочности при растяжении.
- •1. Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Метод Крамера и Гаусса.
- •2. Модель идеального совершенного газа. Интеграл Бернулли для адиабатических течений совершенного газа. Сопло Лаваля
- •3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек тела
- •1. Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Размерность
- •3. Движение твердого тела вокруг одной неподвижной точки. Скорости и ускорения точек тела
- •1. Разностные схемы для ур-й мат физики. Явные и неявные разностные схемы, условия их устойчивости. Метод прогонки
- •2. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек тела
- •3. Кручение стержня круглого поперечного сечения. Крутящий момент. Условия прочности и жесткости при кручении.
- •1. Линейные операторы и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Нормальные формы матрицы линейного оператора
- •1. Кривые второго порядка. Их канонические уравнения
- •2. Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений
- •3. Изгиб балки. Нормальные и касательные напряжения. Условие прочности
- •Касательные напряжения в продольных сечениях балки
- •Проверка прочности и подбор сечения балки
- •1. Поверхности второго порядка. Их канонические уравнения
- •2. Уравнения Лагранжа 2-ого рода
- •3. Модель идеальной жидкости. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
1. Разностные схемы для ур-й мат физики. Явные и неявные разностные схемы, условия их устойчивости. Метод прогонки
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности. В области ,нужно найти решение дифференциального уравнения:
(1) ,(2)
(3)
Функции - считаются заданными. Введём сетку пос шагоми сетку по переменнойс шагом
Для функции , определённой в узлах сетки введём обозначения:
; ;;; Частично в дальнейшем индексы будем опускать и обозначать:;;; Рассмотрим шаблоны, по некоторым будем строить разностные уравнения, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1)
1. Явная схема |
2. Чисто неявная схема |
3. Симметрическая схема |
4. Трёхслойная схема |
Для построения разностной схемы используется шаблон,,,.в точкезаменяем разностным отношением,в точкезаменяем разностным отношением.Правую частьзаменяем приближённой функцией, где в качествеможно взять одну из следующих функций:,.
В результате такой замены получим разностное уравнение (4)
Под разностной схемой понимается совокупность разностных схем аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во внутренних точках и дополнительные начальные и граничные условия в граничных узлах сетки. Разностную схему будем называть разностной задачей. В данном случае разностная задача имеет вид:
; ;
; ;(5)
;
Разностная задача (5) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом неизвестных равных количеству уравнений. Решения такой задачи нужно находить по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями,;;.
Если решение на n-ном слое известно , то решение наслое находится по явной формуле
; (6)
значения ;доопределяются из граничных условий.
Исходя из формулы (6) получается разностная схема и называется чисто явной разностной схемой.
Погрешность разностной задачи (5) определяется как разность между решением задачи (5) и решением задачи (1)-(3) в точке.Подставимв разностную систему (5). Для погрешностиполучаем разностную задачу:
; ;
; ;;
- погрешность аппроксимации разностной задачи (5) на решение задачи (1)-(3)
Покажем, что явную разностную схему можно применять в случае если , то есть шаг по времени оказывается достаточно малым. Часто используют метод гармоник. Он заключается в том, что рассматривается однородное разностное уравнение, соответствующее уравнению (5)
(8)
При этом решение разностного уравнения (8) ищется в виде (9)
Здесь - мнимая единица,- произвольное любое действительное число,- число подлежащее определению. Подставляя (9) в (8) и сокращая на, получимоткуда получаем, где(10)
Обозначим через начальное условие .Если для некоторого числамножительстанет больше единицы, то решения вида (10) будут неограниченно возрастать при, то в этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым. Еслидля всех, то все решения вида (9) будут ограниченны и в этом случае разностное уравнение (8) называетсяустойчивым. В случае неустойчивости найти решение задачи (5) по формулам (6) почти невозможно, так как погрешность округления внесённых в начальный момент времени будут неограниченно возрастать при неограниченном возрастании . Такие разностные схемы называютсянеустойчивыми. Разностные схемы устойчивые лишь при некоторых ограничениях на отношение шагов по пространству и времени называются условно устойчивыми. Разностные схемы, устойчивые при любых шагах иназываютсяабсолютно устойчивыми.