2.3.2. Динаміка твердого тіла та системи тіл

Приклад 1. Вказати правильну відповідь.

Якщо на диск (рис. 23) масою m = 10 кг і радіусом R = 0,4 м діє момент сил опору М_оп = 2 Н·м, то обертальний рух диска відбувається з кутовим прискоренням, яке за абсолютним значенням становить:

1) |ε| = 1,8рад/с²;

2) |ε| = 2,5рад/с²;

3) |ε| = 1,5рад/с²;

4) |ε| = 3,6 рад/с².

Розв’язання. Щоб відповісти на питання прикладу, треба скористатися основним рівнянням динаміки обертального руху тіла навколо нерухомої осі:

Тут I_z – момент інерції тіла відносно осі обертанняz, що спрямована в даному випадку перпендикулярно до площини малюнка і проходить через центр мас диска – точкуС;ε– кутове прискорення тіла;– сума моментів усіх сил, що діють на тіло, відносно осі обертання. Тоді кутове прискорення тіла визначається за формулою:

До суми моментів усіх сил відносно осі обертання надходить лише момент сил опору, так як інші сили, що діють на тіло в процесі руху (сила ваги , сили , – складові реакції нерухомого шарніраC), моментів відносно осі обертання не створюють, бо перетинають цю вісь (проходять через вісь):

Формула для обчислення I_z – моменту інерції суцільного однорідного диска відносно центральної осі, має вигляд:

де m– маса диска; R– його радіус.

Підставимо дані в наведені формули і отримаємо чисельний результат:

Н·м; кг·м²;

рад/с².

Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 2).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь.

Якщо механічна система (рис. 24) складається із вантажівА масою m_А = 10 кг та D масою m_D = 4 кг і ступінчастого диску В з радіусом інерції ρ_В = 0,4м (R_В = 0,5 м; r_В = 0,2м) і масою m_В = 5 кг, то при значенні швидкості тіла А V_A = 2 м/c кінетична енергія системи дорівнює:

1) Т ^сист = 100 Dж;

2) Т ^сист = 110 Dж;

3) Т ^сист = 120 Dж;

4) Т ^сист = 130 Dж.

Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тіла А, В і D), зв’язаних між собою тросами. У процесі переміщення системи ці троси не розтягуються. Треба визначити кінетичну енергію заданої системи у тому її положенні, коли швидкість тілаА набуває значення V_A = 2 м/c.

Кінетична енергія системи дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій усіх тіл і точок системи і в даному випадку становить:

,

де ,,− кінетичні енергії відповідно тілА,ВіD системи.

Кінетична енергія тіла залежить не тільки від його швидкості і маси, але й від виду руху. Тому при визначенні треба враховувати вид руху кожного тіла системи і, крім того, швидкості усіх тіл системи в даному прикладі слід виражати через задану швидкість V_A.

Тіло А рухаєтьсяпоступальнов процесі переміщення системи, тому його кінетична енергія обчислюється за формулою і при підстановці чисельних даних набуває значення:

Dж.

Тіло (ступінчастий диск) виконує обертальнийрух відносно центральної осі z_с, що проходить перпендикулярно до площини малюнка через центр мас диска (точку С). Тому кінетична енергія диска визначається за формулою, де− момент інерції дискавідносно центральної осіz_с;

−його кутова швидкість.

Момент інерції ступінчастого диска відносно центральної осі обчислюється за формулою , де− маса диска, а− його радіус інерції відносно центральної осі. У результаті підстановки чисельних даних момент інерції набуває значення.

Кутову швидкість треба виразити через задану швидкістьV_A:

рад/с.

Тоді кінетична енергія тіла становить:Dж.

Тіло D системи, як і тілоА, рухаєтьсяпоступально, тому його кінетична енергія обчислюється за аналогічною формулою:.

Швидкість V_DтілаDтреба визначити через задану швидкістьV_Aіз співвідношення.

Тоді м/с і кінетична енергія тілаD набуває значення: Dж.

У результаті кінетична енергія системи буде такою:

Dж.

Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною тут буде відповідь 2).

Приклад 3. Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g вважати рівним 10 м/с²).

Якщо маси тіл системи (рис. 25) та радіуси дискаВ мають відповідно значення m_A = 15 кг, m_В = 6 кг, m_D = 4 кг ; R_B = 0,5 м, r_B = 0,2 м, а коефіцієнт тертя тіла А становить µ_А= 0,4, то сумарна робота зовнішніх сил, що діють на систему на переміщенні S_A = 2 м, становить:

1) =+72 Н·м;

2) =−33 Н·м;

3) =+14 Н·м;

4) =−20 Н·м.

Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тілаА,ВіD), зв’язаних між собою тросами. У процесі переміщення системи троси не розтягуються. Треба визначити сумарну роботу зовнішніх сил, що діють на систему на заданому переміщенніS_A =2 м.

До зовнішніх сил, що діють на систему в процесі руху, відносяться усі сили, зображені на рис. 25: активні сили− сили ваги тіл, ,;реакції зовнішніх в’язей − складові реакції площини,; складові реакції нерухомого шарніра , .

Однак треба зауважити, що не всі зовнішні сили виконують роботу. Так, сили ,,прикладені до точкиС, яка не переміщується в процесі руху системи, тому їх робота дорівнює нулю:, так як. Сила спрямована перпендикулярно до напрямку переміщення тілаА, тому робота її теж дорівнює нулю:, так як.

Із наведених сил тільки три сили будуть виконувати роботу: сили ваги тіл ,і сила тертя, що прикладена до тілаА− . Ці силисталі за величиною і сталі за напрямком по відношенню до переміщень точок їх прикладення, а робота таких сил обчислюється за спрощеним правилом: робота сталої сили дорівнює добутку модуля сили на переміщення точки прикладення сили і на косинус кута між напрямком сили і напрямком переміщення.

Таким чином, у даному прикладі сума робіт зовнішніх сил буде складатися із трьох доданків: .

Сила прикладена до центра ваги тілаА і виконує роботу на заданому переміщенніS_A. Кутα між напрямком сили і напрямком переміщення становить 60⁰, так як сила ваги діє донизу по вертикалі, а переміщення точки прикладення сили відбувається униз по площині, про що свідчить напрямок вектора швидкості на рис.25. Тому робота сили обчислюється за формулою:

.

Оскільки в умові прикладу задаються маси тіл системи, то величину сили ваги треба виразити через масу тілаA і прискорення вільного падінняg, яке за умовою прикладу слід вважати рівним 10 м/с² (). Тоді робота сили становить: Н·м.

Сила тертя теж прикладена до тілаА і виконує роботу на заданому переміщенніS_A. Ця сила завжди діє у бік, протилежний до переміщення, тобто створює з напрямком переміщення кут. Тому робота сили тертя обчислюється за формулою:

.

Значення сили тертя відповідає виразу , де величину нормальної складової реакції площини треба обчислити за формулою:

Н.

Тоді сила тертя буде дорівнювати H, а її робота - Н·м.

Сила прикладена до центра ваги тіла D і виконує роботу на переміщенніS_Dцентра ваги цього тіла. Кутα між напрямком сили і напрямком переміщення становить 180⁰, так як сила ваги діє по вертикалі униз, а переміщення тілаDвідбувається по вертикалі уверх, про що свідчить напрямок вектора швидкості на рис.25. Тому робота сили обчислюється за формулою:

.

Переміщення S_Dтреба виразити через переміщенняS_A, встановивши між ними кінематичний зв’язок, аналогічний зв’язку між швидкостями:

і .

Із останнього співвідношення випливає, що м і робота сили становить Н·м.

Тоді сума робіт зовнішніх сил набуває значення:

Н·м.

Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).